Aufgabe B3
Die Parabel mit dem Scheitelpunkt verläuft durch den Punkt .
Sie hat eine Gleichung der Form mit und .
Die Gerade hat die Gleichung mit .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel gilt:
.
Zeichnen Sie sodann die Parabel sowie die Gerade für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit ; (5 P)
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Teil 1
- Setze den Scheitelpunkt und den Punkt nacheinander in die Scheitelpunktform ein.
- Verwandle die Scheitelpunktform in die Normalform.
Teil 2
- Erstelle für die Zeichnung der Parabel eine Wertetabelle und trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Parabel.
- Zeichne die Gerade ein.
Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel gilt:
Die Parabel mit dem Scheitelpunkt verläuft durch den Punkt .
Setze den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform ein:
Setze den Punkt ein:
Vereinfache die rechte Seite.
Umformung: +7
Umformung: :4
Zusammengefasst erhält man für die Gleichung der Parabel :
Zeichne sodann die Parabel sowie die Gerade für in ein Koordinatensystem
Erstelle für die Zeichnung der Parabel eine Wertetabelle und trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Parabel.
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y |
Die Gerade hat die Gleichung . Der y-Achsenabschnitt ist . Zeichne die Punkte und z.B. in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Geraden.
Punkte auf der Parabel und Punkte auf der Geraden haben dieselbe Abszisse . Sie sind für zusammen mit Punkten die Eckpunkte von Dreiecken . Die Punkte liegen ebenfalls auf der Geraden und ihre Abszisse ist stets um kleiner als die Abszisse der Punkte .
Zeichnen Sie die Dreiecke für und für in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein. (2 P)
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- Die Dreieckspunkte liegen jeweils auf den entsprechenden Graphen.
- Für und .
- Für und .
- Zeichne die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Zeichne die Dreiecke für und für in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein
Die Dreieckspunkte liegen jeweils auf den entsprechenden Graphen.
Dreieck :
Hier ist :
Für die Punkte gilt:
Die Punkte liegen ebenfalls auf der Geraden und ihre Abszisse ist stets um kleiner als die Abszisse der Punkte .
für ist
Zeichne die Punkte in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Dreieck :
Hier ist :
Für ist .
Zeichne die Punkte in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt: . (1 P)
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- Es gilt: . Setze ein und fasse zusammen.
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
, für und .
Für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
Unter den Strecken hat die Strecke die maximale Länge.
Berechnen Sie die Länge der Strecke sowie den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks . (2,5 P)
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Teil 1
- Es gilt:
- Der Funktionsterm ist eine nach unten geöffnete Parabel.
- Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel.
- Die maximale Länge der Strecke ist der y-Wert des Scheitelpunktes.
Teil 2
- Das Dreieck hat als Grundseite .
- Die Höhe des Dreiecks .
- Berechne die Dreiecksfläche.
Berechne die Länge der Strecke
Für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt: für und .
Der Funktionsterm ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel:
Klammere aus.
Fasse zusammen.
Vereinfache.
Multipliziere die Klammer aus.
Der Scheitelpunkt hat (auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet) die Koordinaten .
Die maximale Länge der Strecke ist der y-Wert des Scheitelpunktes und beträgt rund .
Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks
Die folgende Darstellung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert
Das Dreieck hat als Grundseite .
Die Höhe des Dreiecks .
Dann erhält man für den Flächeninhalt:
Der zugehörige Flächeninhalt des Dreiecks beträgt rund .
In allen Dreiecken haben die Winkel das gleiche Maß.
Berechnen Sie das zugehörige Maß .
Ergebnis: (1,5 P)
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Berechne das zugehörige Maß
Die Gerade hat die Steigung .
Der Winkel, den die Gerade mit der x-Achse einschließt, ist der Winkel .
Das zugehörige Maß beträgt rund .
Unter den Dreiecken gibt es die gleichschenkligen Dreiecke mit der Basis sowie mit der Basis .
Begründen Sie rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets beträgt.
Berechnen Sie anschließend die zugehörigen Werte für . (3 P)
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Teil 1
- Es gilt:
- Weiterhin ist mit .
- Berechne .
Teil 2
- Setze und löse die quadratische Gleichung.
Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets beträgt
Für die gleichschenkligen Dreiecke und gilt:
Dann gilt mit :
Die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken beträgt stets .
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Die -Werte von und haben immer die Differenz , die -Werte sind wegen der Steigung um verschieden.
Der Abstand der beiden Punkte ist daher nach dem Satz von Pythagoras
Berechne anschließend die zugehörigen Werte für
Es gilt: .
Andererseits ist .
Dann folgt für und :
Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:Es gilt: .
Andererseits ist .
Dann folgt für und :
Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:
Setze und ein.
Man erhält die beiden Lösungen und .
Die zugehörigen Werte für sind oder .