Betrachtet wird die Schar der in definierten Funktionen
mit . Der Graph von wird mit bezeichnet. Die Funktion aus Aufgabe 1 ist somit die Funktion dieser Schar.
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von in Abhängigkeit von an und
begründen Sie, dass die Funktion der Schar eine Nullstelle ohne
Vorzeichenwechsel hat.
Lösung anzeigen
Teil 1
- Die Nullstellen von sind die Nullstellen des Zählers für .
- Untersuche die Nullstellen des Zählers für verschiedene k-Werte.
Teil 2
- Für verbleibt ein quadratischer Term im Zähler.
Die Anzahl der Nullstellen von in Abhängigkeit von
Gegeben ist :
Die Nullstellen von sind die Nullstellen des Zählers für .
es gibt 2 Nullstellen
es gibt 1 Nullstelle
es gibt keine Nullstellen
Die Funktion der Schar hat eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel
Es gibt eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt mit der x-Achse im Ursprung), da der Zähler von einen geraden Exponenten hat.
Für die erste Ableitungsfunktion von gilt
Begründen Sie, dass für keine Extrempunkte besitzt.
Lösung anzeigen
- Setze den Zähler von gleich null und untersuche, für welche Werte von die quadratische Gleichung keine Lösungen hat.
Begründe, dass für keine Extrempunkte besitzt
Gegeben ist :
Für einen Extrempunkt muss sein:
Umformung: \cdot(x+3)^2
Wegen darf mit dem Nenner multipliziert werden.
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:
Setze und ein.
Für ist der Radikand negativ, d.h. es gibt keine Lösung für die quadratische Gleichung und damit besitzt für keine Extrempunkte.
Die Tangente an im Punkt wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass die Steigung hat, und bestimmen Sie denjenigen Wert von , für den senkrecht zur Gerade mit der Gleichung steht.
Lösung anzeigen
- In Aufgabe b) ist gegeben.
- Berechne .
Zeige, dass die Tangente die Steigung hat
Die Tangente an im Punkt soll die Steigung haben.
Es ist .
Dann folgt:
Die Tangente an im Punkt hat die Steigung .
Bestimme denjenigen Wert von , für den senkrecht zur Geraden mit der Gleichung steht
, wenn ist.
Für steht senkrecht zur Geraden mit der Gleichung .
Geben Sie eine Gleichung von an und beurteilen Sie folgende Aussage:
Es gibt einen Punkt, der für alle auf liegt.
Lösung anzeigen
Teil 1
- Allgemeine Tangentengleichung:
- Mit und dem Punkt kann dann berechnet werden.
Teil 2
- Für welchen Wert von erhält man immer dasselbe Ergebnis unabhängig von ?
Gib eine Gleichung von an
Allgemeine Tangentengleichung:
Mit , dem Punkt , d.h. folgt dann:
Setze den Punkt in ein:
Die Tangentengleichung lautet dann:
Es gibt einen Punkt, der für alle auf liegt
Es ist .
Für welchen Wert von erhält man immer dasselbe Ergebnis unabhängig von ?
Schreibe . Damit dieser Ausdruck unabhängig von ist, muss sein. Dann ist immer .
Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten und liegt für alle auf .