Ein Berührpunkt ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionsgraphen, an dem die Funktionen die gleiche Steigung haben.
Damit haben die beiden Funktionsgraphen auch eine gemeinsame Tangente.
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Begriffsklärung
Schnittpunkt, berührendes Schneiden oder Berührpunkt
Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn zwei Graphen einen Punkt gemeinsam haben.
Fall 1
Haben die Graphen in diesem Punkt unterschiedliche Tangenten (hier und ), dann spricht man von transversalem Schneiden.
Fall 2
Im Punkt haben die beiden Graphen eine gemeinsame Tangente und sie kreuzen sich in diesem Punkt.
Dann spricht man von berührendem Schneiden.
Hier tritt auch Fall 1 ein.
Im Punkt haben die beiden Graphen unterschiedliche Tangenten (hier und ).
Hier liegt transversales Schneiden vor.
Fall 3
Haben die beiden Graphen einen gemeinsamen Punkt und dort auch eine gemeinsame Tangente , kreuzen sich aber nicht, dann berühren sich in .
Der Punkt ist der Berührpunkt.
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Die Vorgehensweise im Fall 3 wird anhand zweier Beispiele erläutert.
1. Beispiel - Eine Funktion 1. Grades und eine Funktion 2. Grades
Gegeben sind die beiden Funktionen und .
Zeige, dass eine Tangente an den Graphen von ist. Gib auch den Berührpunkt an.
Anwendung der Bedingungen und :
Wenn eine Tangente an den Graphen von ist, dann gibt es einen Berührpunkt .
Bei einem Berührpunkt muss immer gelten:
Berechne zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen:
und
Man erhält dann die beiden Gleichungen:
Es sollte immer die einfache Gleichung nach aufgelöst werden. Das ist in diesem Fall die Gleichung .
Setze die beiden Ableitungen ein und löse nach auf.
Umformung: :2
Umformung: +4
Die Bedingung ist für erfüllt.
Bei kann also ein Berührpunkt vorliegen, wenn auch die Bedingung erfüllt ist.
Setze die Funktionsterme ein.
Setze den berechneten Wert ein.
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Die erhaltene Aussage ist eine wahre Aussage.
Die Bedingung ist für erfüllt:
Es ist also .
Beide Bedingungen und sind somit erfüllt.
Der Graph von ist eine Tangente an den Graphen von mit dem Berührpunkt .
Alternative Lösung mithilfe der Schnittbedingung
Bei einem Berührpunkt haben die beiden Graphen genau einen Punkt gemeinsam.
Setze und bilde dann die Differenzfunktion . Von dieser Differenzfunktion werden die Nullstellen berechnet. Da es nur einen einzigen Schnittpunkt geben darf, muss die Differenzfunktion eine doppelte Nullstelle haben.
Man findet entweder direkt eine doppelte Nullstelle oder verlangt, dass die Diskriminante der quadratischen Gleichung null ist.
Es ist
Berechne die Nullstellen von :
Wende eine binomische Formel an.
Bei liegt eine doppelte Nullstelle vor. Die beiden Funktionen und haben somit an der Stelle einen Berührpunkt.
Vergleich der Ableitungen an der Berührpunktstelle
Wenn eine doppelte Nullstelle hat, dann hat auch an derselben Stelle eine Nullstelle und .
Nachweis:
Es ist und .
Setze in und in ein:
und .
Damit gilt
Zur Berechnung des y-Wertes des Berührpunktes setzt man z.B. in ein:
Der Graph von ist eine Tangente an den Graphen von mit dem Berührpunkt .
Graphische Darstellung
Die folgende Darstellung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur der Veranschaulichung.
2. Beispiel - Eine Funktion 2. Grades und eine Funktion 2. Grades
Gegeben sind die beiden Funktionen und .
Zeige, dass und einen Berührpunkt haben und gib seine Koordinaten an.
Bestimme auch die Gleichung der Tangente.
Anwendung der Bedingungen und :
Berechne zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen:
und
Man erhält dann die beiden Gleichungen:
Es sollte immer die einfache Gleichung nach aufgelöst werden. Das ist in diesem Fall die Gleichung .
Umformung: -2x_B
Umformung: +18
Umformung: :4
Die Bedingung ist für erfüllt.
Bei kann also ein Berührpunkt vorliegen, wenn auch die Bedingung erfüllt ist.
Setze die Funktionsterme ein.
Setze den berechneten Wert ein.
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Die erhaltene Aussage ist eine wahre Aussage.
Die Bedingung ist für erfüllt:
Es ist also .
Beide Bedingungen und sind somit erfüllt.
Die Graphen von und haben einen gemeinsamen Berührpunkt .
Die Gleichung der Tangente:
ist die allgemeine Gleichung einer Tangente.
Die Steigung im Berührpunkt muss berechnet werden:
Setze ein.
Die Tangente hat die Steigung
Setze den Berührpunkt ein, um zu berechnen:
Setze ein.
Umformung: -10,5
Damit folgt für die Gleichung der Tangente:
Alternative Lösung mithilfe der Schnittbedingung
Bei einem Berührpunkt darf es nur eine (doppelte) Nullstelle geben. Die Differenzfunktion muss demnach eine doppelte Nullstelle haben.
Die Forderung nach nur einer Nullstelle bedeutet, dass die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null sein muss.
Es ist
Berechne zunächst die Nullstellen von :
Berechne die Quadrate.
Vereinfache.
Löse die Klammer auf.
Fasse zusammen.
Man hat die quadratische Gleichung erhalten.
Berechne die Diskriminante :
Setze , und ein.
Es ist und so gibt es nur eine Lösung für die Nullstelle von (doppelte Nullstelle).
Es liegt also ein Berührpunkt vor.
Berechne die x-Koordinate der Berührstelle:
Setze und ein.
Bei liegt also ein Berührpunkt vor.
Vergleich der Ableitungen an der Berührpunktstelle
Wenn eine doppelte Nullstelle hat, dann hat auch an derselben Stelle eine Nullstelle und .
Nachweis:
Es ist und .
Setze in und in ein:
und .
Damit gilt
Zur Berechnung des y-Wertes des Berührpunktes setze z.B. in ein.
.
Die Graphen von und haben einen gemeinsamen Berührpunkt .
Graphische Darstellung
Die folgende Darstellung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur der Veranschaulichung.
Sonderfall: Was ist, wenn der Berührpunkt eine Nullstelle ist?
Nullstellen können mehrfach auftreten. Der Exponent beim Linearfaktor gibt die Vielfachheit der Nullstelle an.
Beispiel:
hat eine dreifache Nullstelle bei und eine einfache Nullstelle bei .
Hat der Linearfaktor ungerade Exponenten, z.B. ; ; , dann spricht man von Nullstellen ungerader Ordnung.
Hat der Linearfaktor gerade Exponenten, z.B. ; ; , dann spricht man von Nullstellen gerader Ordnung.
Nullstellen ungerader Ordnung
Bei Nullstellen ungerader Ordnung hat der Graph bei einen Vorzeichenwechsel, d.h. der Graph schneidet die -Achse.
Beispiele
Der Graph von hat eine Nullstelle ungerader Ordnung (Potenz ist ).
Es liegt Fall 1 transversales Schneiden vor.
Der Graph von hat eine Nullstelle ungerader Ordnung (Potenz ist ).
Der Graph von hat einen Sattelpunkt auf der x-Achse. Es liegt Fall 2 berührendes Schneiden vor.
Bei Nullstellen ungerader Ordnung größer oder gleich liegt ein Sattelpunkt vor und damit Fall 2.
Nullstellen gerader Ordnung
Bei Nullstellen gerader Ordnung hat der Graph bei keinen Vorzeichenwechsel, d.h. der Graph berührt bei die -Achse. Hier gibt es einen Berührpunkt.
Beispiele
Der Graph von hat eine Nullstelle gerader Ordnung (Potenz ist , doppelte Nullstelle). Der Graph berührt bei die -Achse.
Hier gibt es einen Berührpunkt .
Es liegt Fall 3 vor. Der Graph von hat bei einen Tiefpunkt.
Der Graph von hat eine Nullstelle gerader Ordnung (Potenz ist ). Der Graph berührt bei die -Achse. Hier gibt es einen Berührpunkt . Es liegt Fall 3 vor.
Der Graph von hat bei einen Hochpunkt.
Die Entscheidung, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, kann mit der zweiten Ableitung
oder mit einer Monotonietabelle erfolgen.
