Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen der in definierten Funktion mit . hat genau einen Tiefpunkt .
Die Geraden mit den Gleichungen und haben eine
besondere Bedeutung für . Zeichnen Sie die beiden Geraden in die
Abbildung ein und geben Sie diese Bedeutung an. Geben Sie zudem die
Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an.
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Teil 1
- Zeichne die beiden Geraden in die Abbildung ein.
Teil 2
- Die Geraden sind Asymptoten. Gib eine genauere Bezeichnung an.
Teil 3
- Die beiden Geraden schneiden sich für . Setze in die zweite Geradengleichung ein.
Zeichnen Sie die beiden Geraden in die Abbildung ein
Geben Sie die Bedeutung der beiden Graphen an
Die Gerade ist eine senkrechte Asymptote bei der Definitionslücke und die Gerade ist eine schiefe Asymptote für .
Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden angeben
Die beiden Geraden schneiden sich für .
Setze in die Geradengleichung ein:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden hat somit die Koordinaten .
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der y-Achse.
Begründen Sie anhand des gegebenen Terms von , dass für
oberhalb der Gerade mit der Gleichung verläuft.
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Teil 1
- Setze in ein.
Teil 2
- Zeige, dass der Term für größer null ist.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der y-Achse
Setze in ein:
Setze ein.
HN ist .
verläuft für oberhalb der Geraden mit der Gleichung
Zu zeigen ist, dass der Term für größer null ist.
Für ist der Nenner des Bruches größer null:
5 geteilt durch eine Zahl größer null ist ebenfalls größer null.
Also verläuft für oberhalb der Geraden mit der Gleichung .
Weisen Sie nach, dass gilt, indem Sie den Term
geeignet umformen, und begründen Sie, dass genau die Nullstellen und hat.
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Teil 1
- Bringe den Term auf Hauptnenner.
Teil 2
- Benutze den auf Hauptnenner gebrachten Funktionsterm und setze den Zähler gleich null.
Zeige ist gleich
Bringe den Term auf Hauptnenner:
Erweitere mit dem Hauptnenner .
Schreibe auf einen Nenner.
Löse die Klammern auf.
Vereinfache.
Damit ist gezeigt, dass der Term gleich dem Term ist.
Begründe, dass genau die Nullstellen und hat
Der Zähler von kann mithilfe der 3. binomischen Formel umgeformt werden.
Berechne die Nullstellen von :
Verwende den Satz vom Nullprodukt:
Beide x-Werte liegen im Definitionsbereich von , sind also die gesuchten Nullstellen.
Ermitteln Sie rechnerisch einen Term der ersten Ableitungsfunktion von und berechnen Sie die x-Koordinate von .
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Teil 1
- Leite nach den Regeln für Potenzfunktionen ab.
Teil 2
- Berechne und
- Prüfe anhand der Abbildung, welcher der beiden x-Werte zum Tiefpunkt gehört.
Term der ersten Ableitungsfunktion f'
Gegeben ist
Leite nach den Regeln für Potenzfunktionen ab:
Berechne die x-Koordinate von
Umformung: +\dfrac{5}{(x+3)^2}
Löse nach auf.
Umformung: \cdot (x+3)^2
Berechne das Quadrat.
Umformung: -5
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Vereinfache.
Die beiden Lösungen sind und .
Da in der gegebenen Abbildung die x-Koordinate des Tiefpunkts etwa beträgt, ist die gesuchte Lösung.
Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral .
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- Zähle die kleinen Kästchen (Seitenlänge ) unterhalb der x-Achse, beachte dabei, dass kleine Kästchen ergeben.
- Beachte außerdem, dass sich die Fläche unterhalb der x-Achse befindet.
Näherungswert für das Integral
Zählt man die kleinen Kästchen (Seitenlänge ) unterhalb der x-Achse, so kommt man auf etwa Kästchen.
Da kleine Kästchen ergeben, erhält man also .
Da sich die Fläche unterhalb der x-Achse befindet, erhält man als Näherungswert für das Integral .
Betrachtet wird die in definierte Integralfunktion .
Begründen Sie, dass die in definierte Funktion
für eine Stammfunktion von ist.
Zeigen Sie damit, dass gilt, und deuten Sie diese Aussage geometrisch.
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Teil 1
- Wenn eine Stammfunktion von ist, dann muss sein.
- Bilde die erste Ableitung von .
Teil 2
- Es ist
- Benutze die gegebene Stammfunktion und berechne .
- Berechne dann und untersuche, wie sich dieser Term für verhält.
Teil 3
- Welche Fläche wurde mit berechnet?
ist eine Stammfunktion von
Wenn eine Stammfunktion von ist, dann muss sein.
Bilde die erste Ableitung.
Fasse zusammen.
Zeige damit, dass gilt
Wegen geht der Grenzwert gegen .
Zu zeigen ist also .
Es ist
Betrachte :
Untersuche nun das Verhalten des Terms für :
Damit ist gezeigt, dass ist.
Deute diese Aussage geometrisch
In der Abbildung ist die Fläche markiert.
Gezeigt wurde mit
Die markierte Fläche ist somit unendlich groß.
Sie hat keinen endlichen Flächeninhalt. Der Graph schneidet die senkrechte Asymptote nicht.
Anmerkung: Beachte
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass mindestens zwei Nullstellen besitzt.
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Teil 1
- Jede Integralfunktion hat an der Stelle eine Nullstelle.
Teil 2
- Eine zweite Nullstelle kann man finden, wenn man sich den Verlauf des Graphens von ansieht. Gesucht ist eine Stelle , sodass die beiden Flächen von bis (unterhalb der x-Achse) und von bis (oberhalb der x-Achse) den gleichen Flächeninhalt haben. Die Flächenbilanz ist dann gleich null.
besitzt mindestens zwei Nullstellen
Jede Integralfunktion hat an der Stelle eine Nullstelle, also besitzt jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle.
hat also eine Nullstelle für .
Für die zweite Nullstelle gilt:
für (die obere Grenze ist kleiner als die untere Grenze).
Nach Aufgabe c) ist . Demnach ist , da unterhalb der x-Achse verläuft.
Für größer werdende verläuft immer oberhalb der Asymptote (siehe Aufgabe b) und wächst über jede Grenze. Deshalb muss es eine zweite Nullstelle für geben, da sich dann die negativen und positiven Flächeninhalte gegenseitig aufheben (ausgeglichene Flächenbilanz). Das Integral hat dann für ein den Wert null.
Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung.
In der Abbildung sind zwei Flächen gekennzeichnet, und .
Der Betrag beider Flächen ist gleich groß, sodass die Flächenbilanz null ist, d.h. die negativen und positiven Flächeninhalte heben sich gegenseitig auf.
Bei liegt demnach die zweite Nullstelle von .
