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Bei vielen Fragestellungen in der Stochastik ergibt sich folgendes Problem:

Für einen Zufallsversuch, der sich durch ein Binomialmodell beschreiben lässt, ist die Wahrscheinlichkeit und der Umfang einer Stichprobe vorgegeben.

Betrachtet werden nun -Umgebungen

von oder -Umgebungen von .

In diesen Intervallen (Prognoseintervalle) wird das Stichprobenergebnis mit einer vorher festgelegten Sicherheitswahrscheinlichkeit liegen.

1 Prognoseintervalle für Erwartungswerte

Schluss von der Gesamtheit auf ein Stichprobenergebnis

Die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Gesamtheit ist vorgegeben. Dann kann man eine Prognose (Vorhersage) über die Trefferzahl in einer hinreichend großen Stichprobe der Größe angeben.

Dabei gibt man neben der Umgebung des Erwartungswertes der Trefferzahl auch die Wahrscheinlichkeit (Sicherheitswahrscheinlichkeit ⁣) an, mit der die Trefferzahl in diese Umgebung des Erwartungswertes fallen wird.

Vorausgesetzt wird, dass ist (Laplace-Bedingung).

Dann gilt für binomialverteilte Zufallsgrößen :

Prognoseintervalle für die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeit

Wenn in einer -Umgebung von liegt, dann gilt:

Also gilt:

liegt in einer -Umgebung von .

Die Werte von fallen zu etwa in das Intervall ,

zu etwa in das Intervall und

zu etwa in das Intervall .

Intervalle für andere Wahrscheinlichkeiten

Intervalle der Form oder können auch für andere Sicherheitswahrscheinlichkeiten ⁣ angegeben werden.

ist hierbei ein Faktor, der die Intervallgröße so festlegt, damit eine bestimmte Sicherheitswahrscheinlichkeit garantiert wird.

2 Prognoseintervalle für absolute bzw. relative Häufigkeiten

Bei den Prognoseintervallen für den Erwartungswert hat man eine Doppelungleichung erhalten. Aus dieser Doppelungleichung folgt ebenso eine Doppelungleichung für Prognoseintervalle absoluter bzw. relativer Häufigkeiten .

Es gilt:

Für eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von ist und es folgt:

Man kann somit vor einem Bernoulliversuch vorhersagen, dass bei einer gegebenen (als wahr angenommenen) Wahrscheinlichkeit die relative Häufigkeit eines Merkmals in einer Stichprobe vom Umfang mit -Wahrscheinlichkeit im Prognoseintervall liegen wird.

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Es werden die Essgewohnheiten einer bestimmten Altersgruppe in Deutschland untersucht. Dabei werden Personen dieser Altersgruppe befragt. Man geht davon aus, dass dieser Personen Vegetarier sind. (Sicherheitswahrscheinlichkeit )

1. Berechnung des Prognoseintervalls

Zufallsversuch	Anzahl der Vegetarier in einer bestimmten Altersgruppe
binominal verteilte Zufallsgröße	ja Es ist und .
untere Intervallgrenze a
obere Intervallgrenze b
Prognoseintervall für die relative Häufigkeit
Kontrolle

Das Intervall ist das -Prognoseintervall zu .

Das heißt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von behauptet werden kann, dass der grundlegende Anteil der Vegetarier tatsächlich zwischen und liegt.

2. Graphische Bestimmung des Prognoseintervalls

Man zeichnet ein Ellipsendiagramm:

Der Graph gehört zur Funktion .

Der Graph gehört zur Funktion .

Der Schnittpunkt der beiden Graphen mit der Geraden liefert die Intervallgrenzen und .

Das Intervall ( markiert) ist das -Prognoseintervall zu .

Ergänzung der Aufgabe:

Von den befragten Personen haben angegeben, Vegetarier zu sein.

Ist das Befragungsergebnis bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von mit der Annahme verträglich?

Lösung:

Es ist (rechte Intervallgrenze )

Damit ist das Umfrageergebnis mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von mit der Annahme nicht verträglich.

3 Die Länge des Prognoseintervalls

Allgemein gilt für das Prognoseintervall: .

Dann hat das Prognoseintervall die Länge .

Das Prognoseintervall kann noch nach oben abgeschätzt werden, wenn man berücksichtigt, dass für maximal wird.

Dann ergibt sich für das Prognoseintervall eine Abschätzung durch:

Für die Intervalllänge folgt dann:

Für einen festen Wert von ist die Länge des Prognoseintervalls proportional zu .

Man spricht auch vom -Gesetz.