Ein Mittelwert (oder Durchschnitt) ist eine Zahl, die aus gegebenen Zahlen nach einer bestimmten Rechenvorschrift ermittelt wird. Hier ist das arithmetische Mittel gemeint.
Bei verschiedenen Werten bis kann ihr Durchschnitt bzw. der Mittelwert
bestimmt werden über:
.
Eine Funktion hat aber unendlich viele Funktionswerte. Mithilfe des Integrals kann der Mittelwert mit dieser Formel bestimmt werden:
Geometrische Herleitung der Mittelwertberechnung mithilfe eines Integrals
Der Zusammenhang zwischen Integral und Mittelwert einer Funktion kann geometrisch hergeleitet werden.
Betrachtet wird eine Funktion .
Das Integral entspricht dem orientiertem Flächeninhalt zwischen dem Graphen von und der x-Achse:
Wird die Funktion so verändert, dass sie nur den durchschnittlichen Funktionswert annimmt, dann sollte sich ihr Flächeninhalt unter dem Graphen nicht ändern.
Man kann den Durchschnittswert der Funktion also darüber definieren, dass der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Grundseite auf der x-Achse und der Höhe gleich dem orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen von ist.
Es ist also und
Damit erhält man die Gleichung:
.
Die Gleichung kann umgeformt werden zu:
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Gegeben ist die Funktion .
Dann ist und .
Dann folgt:
Der durchschnittliche Funktionswert beträgt .
Anwendungsbeispiele für die Berechnung des Mittelwertes mithilfe eines Integrals
1. Durchschnittliche Geschwindigkeit
Die Funktion gibt zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit eines Autos in während einer dreistündigen Autofahrt an.
Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hatte das Auto bei seiner Fahrt?
Es ist .
2. Durchschnittliche Höhe
Nachdem ein Heißluftballon zur Zeit seine Reisehöhe erreicht hat, wird seine Flughöhe durch die Funktion beschrieben ( in Metern und in Stunden).
Welche durchschnittliche Reisehöhe hatte der Ballon zwischen der und Stunde?
Es ist .
3. Durchschnittliche Temperatur
Der Temperaturverlauf der Außentemperatur wird zwischen Uhr und Uhr durch die Funktion dargestellt. Wie groß ist die Durchschnittstemperatur zwischen Uhr und Uhr?
Es ist .
4. Mittlere Steigung
Gegeben ist eine Funktion .
Wie groß ist die mittlere Steigung des Schaubildes von im Intervall ?
Es ist .
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