Ein möglicherweise gefälschter Würfel wird -mal geworfen. Dabei fiel -mal die .
Wie lautet ein -Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit für eine ?
Welche Schlussfolgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?
Lösung anzeigen
- Berechne die relative Häufigkeit .
- Bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von gilt dann:
- Setze alle Werte in die Ungleichung ein und löse sie nach aufIntervall.
- Liegt die Wahrscheinlichkeit für in diesem Intervall?
Relative Häufigkeit berechnen
ist die Anzahl der und ist binomialverteilt.
Dann gilt für die relative Häufigkeit der :
In das Konfidenzintervall einsetzen
Mit einer Sicherheit von soll die unbekannte Wahrscheinlichkeit für eine abgeschätzt werden.
Damit gilt:
Mit folgt dann:
Setze ein.
Vereinfache.
Setze und ein.
Umformung: ()^2
Vereinfache.
Berechne die Klammern.
Umformung: \cdot 6000
Umformung: -9p+9p^2
aus quadratischer Gleichung bestimmen
Die quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden:
Setze und ein.
Damit erhält man die Intervallgrenzen:
und
Mit einer Wahrscheinlichkeit von liegt im Intervall .
Schlussfolgerung:
Für einen nicht gefälschten Würfel ist . Dieser -Wert liegt nicht in dem berechneten Intervall, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von angenommen werden kann, dass der Würfel gefälscht ist.