Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von bei links- und rechtsseitiger Annäherung an die Definitionslücke und ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten von . [4 BE]
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Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von bei links- und rechtsseitiger Annäherung an die Definitionslücke
Berechne und
Ermittle die Gleichungen aller Asymptoten von
hat eine senkrechte Asymptote bei .
Es ist
hat eine schräge Asymptote mit der Gleichung .
Zeigen Sie, dass die Funktion keine Nullstellen besitzt. [2 BE]
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- Der Zähler besitzt keine Nullstelle. Berechne z.B. die Diskriminante.
Zeige, dass die Funktion keine Nullstellen besitzt
Der Zähler besitzt keine Nullstelle.
, also keine Lösung der quadratischen Gleichung.
Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und Koordinaten aller Extrempunkte von .
[ Mögliches Teilergebnis: ] [7 BE]
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- Berechne .
- Löse die Gleichung
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Berechne die y-Werte der Extrema.
Bestimme die maximalen Monotonieintervalle
Löse die Gleichung
Erstelle eine Monotonietabelle:
ist streng monoton fallend in bzw. in .
ist streng monoton steigend in bzw. in .
Bestimme die Art und Koordinaten aller Extrempunkte von
Zeichnen Sie den Graphen unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie alle Asymptoten für in ein kartesisches Koordinatensystem. [4 BE]
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- Erstelle eine Wertetabelle.
- Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
- Zeichne auch die beiden Asymptoten ein.
Zeichne den Graphen unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie alle Asymptoten für in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle.
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie. Zeichne auch die beiden Asymptoten ein.
Es wird nun die Funktion mit ihrer maximalen Definitionsmenge betrachtet. Der Graph von wird mit bezeichnet. Zur Beantwortung der folgenden Teilaufgaben können die Ergebnisse aus vorherigen Aufgaben verwendet werden.
1) Geben Sie an und bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion . [3 BE]
2) Ermitteln Sie die Art und die Koordinaten des Extrempunkts von und zeichnen Sie in das Koordinatensystem der Teilaufgabe d). [6 BE]
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1)
- Für welche Werte ist nur definiert?
- für , was folgt dann für ?
2)
- Die Nullstelle der Funktion ist eine doppelte Nullstelle. Was bedeutet das für das Extremum? (Alternativ kann auch berechnet werden, beachte dabei die Kettenregel.)
- Erstelle eine Wertetabelle für und zeichne die Punkte in das Koordinatensystem der Teilaufgabe d) ein. Verbinde die Punkte.
1) Gib an und bestimme die Nullstelle der Funktion
Gegeben:
Nullstelle der Funktion :
Es gilt: da .
Umformung: \cdot x
Löse nach auf.
Umformung: -x
Umformung: \cdot (-1)
Wende eine binomische Formel an.
Die Gleichung hat die Lösung (doppelte Nullstelle).
Die Nullstelle der Funktion ist .
2) Ermittle die Art und die Koordinaten des Extrempunkts von
Bei einer doppelten Nullstelle findet man einen Extremwert auf der x-Achse.
Hier ist es ein Tiefpunkt mit .
Anmerkung: und .
Alternativ kann auch berechnet werden (beachte die Kettenregel).
Die Lösung entfällt, da .
; für und für
Zeichne in das Koordinatensystem der Teilaufgabe d)
Erstelle eine Wertetabelle:
