Die Firma FACTUS soll für einen Süßwarenhersteller quaderförmige Verpackungen für Schokoladenbonbons produzieren. Der Auftraggeber verlangt, dass die Verpackung eine quadratische Grundfläche aufweist und dass die Summe aus Länge, Breite und Höhe beträgt, damit der Verpackungsautomat die gefalteten Verpackungen verarbeiten und befüllen kann. Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche wird mit a bezeichnet.
Die Werte der Funktion geben jeweils das Volumen der Verpackung in an. Damit die Verpackung handlich bleibt, soll die Seitenlänge a der Grundfläche mindestens und höchstens betragen.
Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen der Einheiten verzichtet werden.
Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Funktion V .
[ Mögliches Ergebnis: ]
(3 BE)
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Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe.
Hier sollst du den Funktionsterm der Hauptbedingung in Abhängigkeit von a herausfinden.
- Stelle eine Hauptbedingung auf
- Stelle eine Nebenbedingung auf
- Forme die Nebenbedingung nach h um und setze in die Hauptbedingung ein
Hauptbedingung
Die Zielfunktion/Hauptbedingung beschreibt das Volumen des Quaders. Der Quader hat eine quadratische Grundfläche, deshalb gilt für das Volumen:
Nebenbedingung
Dein Ziel ist es, h in der Hauptbedingung loszuwerden. Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass die Summe aus Länge, Breite und Höhe exakt ist:
Forme diese Nebenbedingung nach um:
Umformung: -2a
Nebenbedingung in Hauptbedingung
Ersetze in der Hauptbedingung:
Ermitteln Sie die Maße einer Verpackung der Firma FACTUS, die den Vorgaben entspricht und dabei maximales Volumen besitzt. Geben Sie die spezielle Form dieser Verpackung an und berechnen Sie das Volumen. (7 BE)
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Weiterhin ist es eine klassische Extremwertaufgabe, jetzt suchst du das Maximum der Funktion (den Hochpunkt des zugehörigen Funktionsgraphen).
- Bestimme die Funktionswerte der Randextrema
- Bestimme die Lage der übrigen Extrempunkte im Definitionsbereich
Vergiss nicht, ebenfalls die Höhe zu bestimmen und die spezielle Form zu benennen.
Randextrema
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Kantenlänge zwischen und liegen soll, also ist
Die Werte an den Rändern erhältst du durch Einsetzen in den Term:
übrige Extrema
Du suchst die Nullstellen der 1. Ableitung, an denen einen Vorzeichenwechsel hat:
Bestimme die Nullstellen von :
Klammere aus
Nach dem Satz vom Nullprodukt gibt es die Lösungen , die aber nicht in der Definitionsmenge liegt und die Lösung der Gleichung :
Umformung: +6a
Umformung: :6
Die Lösung liegt in der Definitionsmenge.
Den zugehörigen Funktionswert erhältst du durch Einsetzen in :
Das ist der größte Funktionswert in der Definitionsmenge und somit das absolute Maximum von in .
Höhe des Quaders und Form
Setze in die Nebenbedingung ein, um die zugehörige Höhe zu bekommen:
Da Länge, Breite und Höhe des Quaders übereinstimmen, handelt es sich um einen Würfel.
Insgesamt hat der Karton also als Würfel mit der Kantenlänge das maximale Volumen von .
Die Firma FACTUS bekommt den Auftrag, würfelförmige und bedruckte Verpackungen mit einer Kantenlänge von herzustellen.
Aus Kostengründen überlegt die Firma, ob sie den Druckauftrag an die eigene Druckerei FACTUS-Print geben soll oder ob das Angebot der Konkurrenzfirma PappDruck günstiger ist. Bei den Verpackungen werden alle Außenflächen außer der Bodenfläche bedruckt.
(4 BE)
Druckkosten | Rabatt | |
|---|---|---|
FACTUS-Print | Cent pro | kein Rabatt |
PappDruck | Cent pro Verpackung | Bedruckung jedes Würfels gratis |
Entscheiden Sie rechnerisch, welche Firma aus wirtschaftlicher Sicht den Druckauftrag bekommen sollte. (4 BE)
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- Bestimme den Oberflächeninhalt der Verpackung
- Berechne daraus den Preis bei FACTUS-Print
- Bestimme, wie viele Würfel bei PappDruck bezahlt werden müssen und bestimme ebenfalls den Preis
- Vergleiche die Preise und gib eine Empfehlung ab
FACTUS-Print
Hier musst du wissen, wie groß die Oberfläche des Würfels ist. Bei den Verpackungen werden alle Außenflächen außer der Bodenfläche bedruckt, d. h. es werden Seiten des Würfels bedruckt. Eine Seitenfläche ist ein Quadrat mit Seitenlänge :
Insgesamt sind es Würfel, also werden bedruckt.
Es sind pro zu bezahlen, also:
PappDruck
Da jeder Würfel gratis ist, zahlst du nur der Würfel.
Das sind Stück.
Pro Würfel zahlst du :
Entscheidung
Es sollte bei PappDruck gedruckt werden.