Landwirte beklagen zunehmend Ernteausfälle durch anhaltende Dürren in den Sommermonaten. Während der durchschnittliche Ertrag an Weizen pro Hektar Anbaufläche 2014 noch bei Dezitonnen lag, brachte die Ernte von 2017 nur noch durchschnittlich Dezitonnen pro Hektar Anbaufläche ein.
Basierend auf den seit dem Jahr 2014 ausgewerteten Daten kann die Ertragsentwicklung vereinfacht durch die Funktion mit und modelliert werden. Der Funktionswert von gibt den durchschnittlichen Weizenertrag in Dezitonnen pro Hektar Anbaufläche zum Zeitpunkt an. Dabei steht für die vergangene Zeit in Jahren ab dem Jahr 2014 (.
Bei der Berechnung kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.
Ermitteln Sie den Mittelwert der jährlichen Abnahme des durchschnittlichen Weizenertrags pro Hektar Anbaufläche über die Jahre 2014 bis 2017. (3 BE)
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Ein Mittelwert entspricht graphisch der Steigung der Sekanten.
Du bestimmst also die Werte von und entnimmst der Aufgabenstellung die zugehörigen Funktionswerte für 2014 und 2017. Damit berechnest du wie bei einem Steigungsdreieck einer Geraden die mittlere Steigung.
Aus der Angabe weißt du, dass die Messung 2014 beginnt, also .
Somit wird 2017 der Wert zugeordnet.
Zu gehört der Funktionswert und zu laut Aufgabenstellung
Berechne damit den Differenzenquotient:
Im Durchschnitt nimmt der Ertrag in den ersten drei Jahren jährlich um Dezitonnen ab.
Bestimmen Sie die Werte der Parameter und der Funktion . Runden Sie auf zwei Nachkommastellen. (4 BE)
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Setze die beiden Wertepaare für 2014 und 2017, die du bereits in der letzten Aufgabe verwendet hast, in den vorgegebenen Term ein.
Löse dann das Gleichungssystem, zum Beispiel mit dem Einsetzungsverfahren.
Bestimmung von
Du sollst die Parameter und im Term bestimmen.
Du weißt, dass 2014 () durchschnittlich Dezitonnen und 2017 () durchschnittlich Dezitonnen geerntet wurden.
Setze zuerst für das Jahr 2014 ein:
Setze in den vorgegebenen Term ein
Umformung: -56,3
Bestimmung von
Ermittele nun mit dem Wert von 2017 und dem gefundenen
Setze gemeinsam mit in den Funktionsterm ein.
Umformung: -30
Umformung: :56,3
Verwende den .
Umformung: :3
Im Folgenden gilt: .
Einige Landwirte sind der Meinung, dass der Weizenanbau ab einem durchschnittlichen Weizenertrag von Dezitonnen pro Hektar Anbaufläche nicht mehr rentabel für sie ist. Berechnen Sie, ab welchem Jahr dies laut dem Modell der Fall wäre. (3 BE)
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Du bekommst einen Weizenertrag vorgegeben. Das ist ein Funktionswert.
Setze deinen Term mit 50 gleich und löse durch Umformen.
Berechnung des zugehörigen Werts von
Da Dezitonnen ein Ertrag sind, setzt du den Funktionsterm mit dem Wert gleich.
Umformung: -30
Umformung: :56,3
Verwende den .
Umformung: :\left(-0,11\right)
Interpretation im Sachkontext
Rechne die vergangenen Jahre zum Jahr 2014 dazu: .
Es wird gefragt, ab welchem Jahr es erstmals den Wert unterschreitet, deshalb lautet die Antwort:
Bei jährlicher Messung erstmals ab dem Jahr 2024.
Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte von für und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (3 BE)
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Untersuche den Grenzwert Stück für Stück, ausgehend vom Faktor e. Verwende dazu zum Beispiel die Limes-Schreibweise.
Für die Bedeutung im Sinne der Thematik: Überlege dir, was t beschreibt und was E(t) und baue das gemeinsam mit deinem gefundenen Grenzwert in einen Satz ein.
Grenzwert bestimmen
Für die volle Punktzahl darfst du nicht einfach den Wert angeben, sondern musst ihn auch begreiflich machen. Das geht zum Beispiel über eine ausführliche Limes-Betrachtung:
wird im Exponenten mit einer negativen Zahl multipliziert. Für große, positive wandert der Exponent gegen
Die normale e-Funktion nähert sich für negative Werte dem Wert an.
Damit verschwindet für große Werte von der Faktor
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ist die Asymptote des Graphen, da sie zur Exponentialfunktion dazuaddiert wird.
Der Term beschreibt eine exponentielle Abnahme, da negativ ist und der Wachstumsfaktor .
Der Graph nähert sich der Asymptote also von oben und somit nähert er sich für der an.
Interpretation des Wertes
Da die vergangenen Jahre seit 2014 und den durchschnittlichen Ertrag in Dezitonnen nach Jahren beschreibt, sagt die uns:
Der durchschnittliche Ertrag pro Hektar wird (nach dieser Modellierung) langfristig Dezitonnen betragen.
Sofern Landwirte 2018 mit einem massiven Einbruch ihrer Weizenerträge konfrontiert waren, hatten sie Anspruch auf Unterstützungszahlungen des Bundes. War ihr durchschnittlicher Weizenertrag pro Hektar Anbaufläche um mehr als geringer als der Mittelwert der entsprechenden Erträge in den Jahren 2015, 2016 und 2017, so konnten sie einen Antrag auf Nothilfen stellen.
Prüfen Sie rechnerisch, ob sich gemäß dem hier gewählten mathematischen Modell, eine Antragsberechtigung für Nothilfen ergibt.
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Mittelwert der Erträge
Anders als bei der ersten Teilaufgabe musst du hier den Mittelwert aus drei Jahren berechnen. Das ist vergleichbar mit einem Notendurchschnitt.
Werte dazu die Funktion aus für aus.
Abweichung vom Mittelwert in 2018
Im Jahr 2018 wurden Dezitonnen erwirtschaftet.
Die prozentuale Abweichung vom Mittelwert ist die Frage danach, um wie viel Prozent der Ertrag von kleiner ist als . Du suchst also den Prozentsatz:
Die Abweichung beträgt also nur und somit gibt es keine Antragsberechtigung.