Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung und der Definitionsmenge
Bestimmen Sie die Wertemenge von . (4 BE)
Lösung anzeigen
Da der Definitionsbereich eingeschränkt ist, muss man mehrere Sachen einbeziehen:
- Wie ist das Verhalten für , also für große x-Werte? (Globalverlauf)
- Welchen Wert nimmt die Funktion bei an? (Randextrempunkt)
Dabei musst du beachten, dass der Funktionsgraph sowohl gespiegelt als auch verschoben wurde (Die Streckung um den Faktor 2 ist für den Grenzwert nicht relevant).
Der Graph hat außerdem keine weiteren Extrempunkte neben dem Randextremum, da es sich um eine einfache Exponentialfunktion der Form handelt.
Grenzwert für
Eine grobe Skizze hilft dir dabei, dir den Graphen besser vorzustellen. Für das Unendlichkeitsverhalten interessiert dich dabei nur die Spiegelung und die Verschiebung in y-Richtung.
Der Graph von hat die Asymptote (Verschiebung um 1 nach unten)
Der Graph ist nicht an der x-Achse gespiegelt, aber an der y-Achse (da ).
Verwende den Schieberegler im Applett, um dir die beiden Veränderungen und ihren Einfluss auf die Wertemenge anzuschauen. Am Ende siehst du den tatsächlichen Graph mit uneingeschränkter Definitionsmenge:
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Da der Graph von oben kommend streng monoton fällt, nähert er sich also für seiner Asymptote an:
Funktionswert am linken Rand
Der linke Rand der Definitionsmenge ist eingeschlossen, deshalb gibt es dort ein Randextremum, das direkt in der Wertemenge vorkommt. Setze in den Term ein:
Wertemenge angeben
Der Graph nähert sich der Asymptote an und hat als größten Funktionswert im Definitionsbereich . Daraus ergibt sich die Wertemenge .