Die Parabel verläuft durch die Punkte und . Sie hat eine Gleichung der Form mit und . Die Gerade hat die Gleichung mit .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung hat.
Zeichnen Sie sodann die Gerade g sowie die Parabel p für in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;
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Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:
Der Öffnungsfaktor ist bekannt, außerdem kennst du noch die Koordinaten der Punkte und Setze die Koordinaten von und in die allgemeine Form der quadratischen Gleichung ein und berechne und .
Berechnen von und
einsetzen der Koordinaten von und
:
:
Umformung: \mathrm{+6b-11,6}
Umformung: :15
berechne c, setze b in die Gleichung ein
Einzeichnen der Parabel sowie der Gerade in ein Koordinatensystem
Punkte und sind zusammen mit Punkten auf der Geraden g und Punkten auf der Parabel p die Eckpunkte von Drachenvierecken mit den Geraden als Symmetrieachse.
Es gilt: .
Zeichnen Sie das Drachenviereck für und das Drachenviereck für in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.
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Zeichne zuerst die Symmetrieachse .
Einzeichnen der Drachenvierecke und
In allen Drachenvierecken haben die Winkel das gleiche Maß . Berechnen Sie das Maß der Winkel .
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Berechne den Winkel mithilfe des Tangens.
Berechnen des Maßes der Winkel
Das Maß der Winkel beträgt:
Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt A der Drachenvierecke in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte gilt: [Teilergebnis: ]
Unter den Drachenvierecken hat das Drachenviereck den minimalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks und den zugehörigen Wert für .
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Aufstellen der Funktionsgleichung zum Berechnen des Flächeninhalts der Drachenvierecke
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Drachenvierecke
lautet:
Da bekannt ist (siehe Aufgabenstellung), musst du noch die Länge der Strecke berechnen. Da die Punkte und die gleiche Abszisse haben, berechnet sich die Länge aus der Differenz der -Koordinaten von und :
Berechnen des Flächeninhaltes des Drachenvierecks
beschreibt eine nach oben offene Parabel, denn ist eine Gleichung von der Form mit . Um den minimalen Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Formel für in die Scheitelpunktform überführen. Du kannst entwederdie quadratische Ergänzung anwenden, oder du benutzt die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts.
Berechnen des Scheitelpunkts mit quadratischer Ergänzung:
Hier können wir jetzt die Koordinaten des Scheitelpunktes von ablesen. und . Somit ist für .
Berechnen des Scheitelpunkts mit der Formel:
Die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts lautet:
Geg.:
Einsetzen der Werte in die Formel:
Begründen Sie, dass für die Drachenvierecke Rauten sind.
Ermitteln Sie die -Werte der Punkte und .
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Eine Raute ist ein spezielles Drachenviereck, bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen.
Setze und berechne die -Werte der Punkte und
Begründung:
Drachenvierecke sind Rauten, wenn sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. Da die -Werte der Punkte und um größer sind als die -Werte von ,
müssen die -Werte von insgesamt um größer sein als die -Werte von
Berechnen der -Werte der Punkte und .
Löse die quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Punkte und nicht gemeinsam auf einer Geraden liegen können.
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Liegen die Punkte und auf einer gemeinsamen Geraden, so muss für die Strecke gelten:
setze
Lösen der quadratischen Gleichung:
Umformung: -3
subtrahiere
berechne mit der Mitternachtsformel.
Die Punkte und liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden.