Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung .
Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion an.
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Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe untersuchst du den Definitionsbereich eines logarithmischen Funktionsterms.
Zunächst betrachtest du die Gleichung der Funktion . Der Logarithmus ist nur definiert, wenn der Ausdruck positiv ist. Damit erfüllt ist, muss folglich gelten. Der Definitionsbereich ist also durch gegeben.
Bestimmen Sie die nach aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu .
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Lösung zu Teilaufgabe b
Diese Teilaufgabe beschäftigt sich mit der Umkehrfunktion eines logarithmischen Funktionsterms.
Um die Umkehrfunktion zu zu bestimmen, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:
- Zunächst vertauschst du und in der Funktionsgleichung.
- Anschließend löst du die Gleichung nach auf:
Umformung: -1
Umformung: 2^{(\cdot )}
Du rechnest , da die Umkehrfunktion von ist.
Umformung: -2
Es gilt also .
Damit folgt nun, dass die Umkehrfunktion von durch gegeben ist.
Der Graph der Funktion hat eine Gleichung der Form und schneidet den Graphen der Funktion auf der -Achse.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für .
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Lösung zu Teilaufgabe c
In dieser Teilaufgabe berechnest du den Schnittpunkt zweier Funktionen.
Du weißt, dass der Graph der Funktion eine Gleichung der Form hat und den Graphen der Funktion auf der -Achse schneidet.
Da die Graphen sich auf der -Achse schneiden, sind für die -Werte der Funktionsgleichungen von und gleich:
.
Einsetzen der Funktionsgleichungen von und liefert:
.
Diese Gleichung löst du nun nach auf:
Vereinfache.
Umformung: -3
Umformung: 2^{(\cdot )}
und erhältst .
Folglich ist die Lösungsmenge durch gegeben und die Funktionsgleichung von lautet .
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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