Gegeben sind rechtwinklige Dreiecke mit und den Hypotenusen .
Die Winkel haben das Maß mit .
Der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius schneidet die Seite im Punkt und die Seiten im Punkt .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Berechnen Sie die Länge der Seite für .
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Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Aufgabe verwendest du die trigonometrischen Beziehungen.
Du betrachtest das rechtwinklige Dreieck und erinnerst dich an
Im Dreieck ist die Strecke die Ankathete und die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse. Damit formst du die Kosinusbeziehung wie folgt um:
Umformung: \cdot \overline{AB_1}
Umformung: :\cos (\varphi )
Da dir die Länge gegeben ist, kannst du berechnen:
Die Figuren , die durch die Strecken und sowie durch den Kreisbogen begrenzt wird, rotieren um die Gerade .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von gilt:
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Lösung zu Teilaufgabe b
Du beginnst mit der Berechnung des Volumens des Rotationskörpers, welcher vom linksstehenden Dreieck erzeugt wird. Danach subtrahierst du das Volumen der Halbkugel, welches durch den Kreisbogen erzeugt wird.
Der Körper, erzeugt vom Dreieck , ist ein Kegel mit der Spitze , Radius und Höhe . Die Länge berechnest du mittels der Tangensbeziehung
Setzt du nun den Wert aus der Aufgabenstellung ein und löst nach auf, erhältst du
Erinnere dich an die Volumenformeln für Kegel
und Halbkugel
wobei du den Wert für einfach der Aufgabenstellung entnimmst. Jetzt hast du alles zusammengetragen, um das gesuchte Volumen zu berechnen:
Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers für
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Lösung zu Teilaufgabe c
In der vorigen Teilaufgabe (b) hast du bereits das Volumen
berechnet.
Setzt du nun in diese Formel ein, erhältst du
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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