Der Punkt ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten mit den Diagonalenschnittpunkten . Die Punkte liegen auf der Geraden mit der Gleichung . Die Diagonalen der Rauten sind doppelt so lang wie die Diagonalen .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie die Gerade und die Rauten für und für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit
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Raute :
Für hat der Punkt die Koordinaten . Der Diagonalenschnittpunkt liegt mittig auf der Strecke zwischen dem Punkt und dem Punkt :
Die Länge von ist doppelt so lang wie Insbesondere ist also die Länge von
da die Diagonalen halbiert. Daher gilt auch, dass
Zusätzlich wissen wir, dass sich und im rechten Winkel schneiden, da eine Raute ist. Mit diesem Wissen können wir nun die Punkte und berechnen:
Ein Vektor, der senkrecht auf steht, ist z.B. der Vektor denn das Skalarprodukt Der Vektor hat die gleiche Länge wie . Damit können wir nun die beiden Punkte und berechnen.
Raute :
Die Rechnung funktioniert analog zu der für die Raute .
Für ergibt sich . Der Punkt liegt wieder mittig auf der Strecke zwischen dem Punkt und :
Ein Vektor , der senkrecht auf steht und die gleiche Länge hat, ist z.B. , da das Skalarprodukt der beiden Vektoren ergibt. Somit ergibt sich für und :
und
Begründen Sie, weshalb die Winkel stets das gleiche Maß besitzen.
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Für die beiden Rauten und sind die entsprechenden Winkel in der Abbildung rot markiert. Schaut man sich nun das Dreieck an, so gilt dort, dass
weil die Diagonale zwischen und doppelt so lang ist wie die Diagonale zwischen und . Der Winkel ist also unabhängig von der jeweiligen Raute.
Die Winkel und sind gleich groß.
Folglich besitzen die Winkel stets das gleiche Maß.
Für die Rauten und gilt: .
Berechnen Sie die zugehörigen Belegungen von .
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Für die Strecke zwischen und gilt, dass
Die Länge von dieser Strecke
soll nun betragen:
Bei der Rechnung oben benutzt man im zweiten Schritt die binomischen Formeln. Nun kann man die linke Seite zusammenfassen:
Um die Mitternachtsformel verwenden zu können muss die rechte Seite gleich Null sein, also
Um die Mitternachtsformel verwenden zu können muss die rechte Seite gleich Null sein, also
Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte und in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt:
und .
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Teil 1: Berechnung von :
Es gilt und
Der Punkt ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen und auch Mittelpunkt zwischen den beiden Punkten und , das heißt
Teil 2: Berechnung von :
Um den Punkt zu berechnen, brauchen wir als Erstes einen Vektor der senkrecht auf steht, da sich die Diagonalen einer Raute im rechten Winkel schneiden. Da kann man zum Beispiel nehmen, denn das Skalarprodukt von und ist null.
Zusätzlich wissen wir, dass die Diagonale doppelt so lang ist wie die Diagonale und beide Diagonalen von halbiert werden. Insbesondere gilt dann
Den Punkt kann man nun also berechnen:
Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen der Punkte .
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Wie in der vorherigen Teilaufgabe d) ausgerechnet gilt für die Punkte , dass
Anders kann man auch schreiben
Um nun den Trägergraphen (oder auch Ortskurve) der Punkte zu bestimmen, löst man die erste/obere der beiden Gleichungen nach auf und setzt das dann in die zweite/untere Gleichung ein.
Einsetzen in
Das heißt, es gilt für den Trägergraphen
Bei der Raute liegt der Punkt ebenfalls auf der Geraden . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes .
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Nach Teilaufgabe d) hat der Punkt die folgenden Koordinaten
Wie in Teilaufgabe e) kann man auch schreiben
Der Punkt der Raute soll nun auf der Geraden liegen, das heißt
Einsetzen der beiden obigen Gleichungen ergibt nun
Für die y-Koordinaten des Punktes setze in ein.
Der Punkt hat somit die Koordinaten: