Gleichschenklige Trapeze haben die parallelen Seiten und . Die Winkel haben das Maß mit
Es gilt: .
Die Zeichnung zeigt das Trapez für .
Zeichnen Sie das Trapez für in die Zeichnung zu 3.0 ein.
Lösung anzeigen
In der folgenden Schritt für Schritt Anleitung siehst du wie du das Trapez mit zeichnen kannst.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Begründen Sie rechnerisch die untere Intervallgrenze für .
Lösung anzeigen
Verringert man den Winkel , so verringert sich die Seitenlänge immer mehr. So verändert sich das gleischschenklige Trapez "irgendwann" zu einem gleichschenkligen Dreieck. Also ist die Untergrenze von der Winkel, bei dem das Trapez zu einem Dreieck wird.
zusätzliche Animation
Zieh am Schieberegler, um den Winkel in der Animation zu verändern.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Um herauszufinden, für welchen Winkel aus dem Trapez ein Dreieck wird, hilft dir folgendes Bild:
Die Höhe des Dreiecks halbiert die Seite , daher ist .
Mithilfe des Kosinus kannst du nun den gesuchten Winkel bestimmen:
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Trapeze in Abhängigkeit von .
Lösung anzeigen
Den Flächeninhalt des gleischenkligen Trapez bestimmst du über die Formel:
Die Länge ist schon gegeben. Die Längen und müssen noch berechnet werden.
Zeichne dir hierfür am besten die Höhe ein. Da sich je nach Winkel die Höhe so wie und verändern, kannst du sie auch nennen.
- Höhe berechnen
Das Dreieck ist rechtwinklig. Du hast die Seite gegeben. Daher kannst du mit dem Sinus bestimmen.
Auflösen nach und einsetzen von ergibt:
- berechnen
Um nun noch die Länge zu bestimmen, kannst du erstmal berechnen. Da gegeben ist, kannst du mithilfe des Kosinus bestimmen.
Mit dem Kosinus bekommst du folgende Gleichung:
Auflösen nach und einsetzen von ergibt:
Lösung mit dem Satz des Pythagoras:
Du kannst auch mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Das ist aber leider etwas komplexer.
Hier wird es schwierig. Anhand einer Formelsammlung kannst du nun herausfinden, dass gilt und dann bekommst du:
Da diese Formel jedoch nicht sehr geläufig ist und nicht in allen Formelsammlungen vorkommt, ist es sehr viel leichter mit dem Kosinus auf zu kommen.
Mit der Länge kannst du endlich die fehlende Länge berechnen. Sie ergibt sich (wie du aus dem Bild erkennen kannst) aus der Gleichung:
Nun musst du noch nach auflösen:
Jetzt alles einsetzen:
- Flächeninhalt bestimmen
Jetzt hast du alle Längen, um den Flächeninhalt des Trapezes zu bestimmen.