Das Schrägbild zeigt die Pyramide mit dem gleichschenkligen Trapez als Grundfläche und der Höhe . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke und der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke .
Es gilt: . Der Punkt liegt auf der Strecke mit . Er ist der Mittelpunkt der Strecke .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Berechnen Sie die Längen der Strecken und .
Ergebnis: ;
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Die Strecke ist die Höhe der Pyramide, sie steht also senkrecht auf der Grundfläche. Damit ist das Dreieck rechtwinklig und zwei der Seitenlängen sind schon gegeben. Du kannst die Länge von also mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen:
Um die Länge der Strecke zu berechnen kannst du den Strahlensatz verwenden.
Denn mit dem zweiten Strahlensatz für die V-Figur gilt:
Umformung: \cdot 6\ \text{cm}
Und du hast auch die Länge der Strecke berechnet.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes .
Zwischenergebnis:
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Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen benötigst du die Längen, der zueinander parallelen Seiten (diese kennst du schon: und ), sowie die Länge der Höhe. Die Höhe ist im Trapez durch die Strecke gegeben, die Länge dieser Strecke musst du noch berechnen.
Um zu berechnen kannst du zum Beispiel das Dreieck betrachten, das wiederum im Dreieck liegt:
Du kennst bereits die Seitenlängen und . Wenn du jetzt noch den Wert des Winkels (bzw. ) herausfindest, dann kannst du den Kosinussatz verwenden, um zu erhalten.
Um den Wert von zu bestimmen, kannst du den Tangens im rechtwinkligen Dreieck verwenden (es funktioniert aber genauso gut mit Sinus oder Kosinus):
Setze die bekannten Längen ein.
Umformung: \tan ^{-1}()
Wende die Umkehrfunktion des Tangens an.
Nun wendest du noch den Kosinussatz an und erhältst damit :
Setze die Werte ein.
Umformung: \sqrt{ }
Damit hast du jetzt alles, was du brauchst, um den Flächeninhalt des Trapezes mit der Formel zu berechnen:
Der Punkt liegt auf der Strecke mit . Das Dreieck ist die Grundfläche der Pyramide mit der Spitze
Zeichnen Sie die Pyramide in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide .
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Einzeichnen der Pyramide in das Schrägbild
Für das Pyramidenvolumen gilt:
In Aufgabe a) wurde berechnet. Es müssen noch die Strecken und berechnet werden. In Aufgabe b) wurde der Winkel berechnet. Es gilt:
Im Dreieck kann der Kosinus angewendet werden:
Setze die Werte ein.
Umformung: \cdot (8,94-3)
Damit ist .
Im Dreieck kann der Sinus angewendet werden:
Setze die Werte ein.
Umformung: \cdot (8,94-3)
Damit ist .
Setze alle Werte in die Volumenformel ein:
Setze alle Werte ein.
Das Volumen der Pyramide beträgt .