Gegeben sind die Parabeln mit der Gleichung und mit der Gleichung ().
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Punkte auf und Punkte auf haben dieselbe Abszisse . Sie sind zusammen mit für Eckpunkte von Dreiecken .
Zeichnen Sie das Dreieck für in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein. Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt:
LE.
Lösung anzeigen
Graphischer Ansatz
Zuerst kannst du das Dreieck einzeichnen. Für den Punkt suchst du dabei auf der -Achse den Wert und gehst dann senkrecht nach oben bis zur Parabel , dort kannst du ihn dann einzeichnen. Für machst du das Gleiche, gehst aber nach unten bis zur Parabel .
Rechnerischer Ansatz
Du kannst die Koordinaten von und auch dadurch bestimmen, dass du den Wert in die Formeln aus der Angabe einsetzt:
So erhältst du die Punkte und , die du jetzt ganz leicht einzeichnen kannst.
Nun geht es noch darum die Länge der Strecke zu bestimmen. Dazu bildest du die Differenz der Funktionsterme der beiden Parabeln, und zwar , weil in diesem Bereich oberhalb von verläuft:
Begründen Sie, weshalb es unter den Dreiecken kein Dreieck gibt, dessen Seite eine Länge von LE besitzt.
Lösung anzeigen
Hier solltest du als Erstes versuchen den Wert für zu bestimmen, so dass die Strecke die Länge LE besitzt. Setze dazu den Wert mit der Formel für die Länge der Strecke aus Teilaufgabe a gleich:
Diese Gleichung kannst du nun mithilfe der Mitternachtsformel lösen. Dafür brauchst du auch die Diskriminante der Gleichung:
Da die Diskriminante negativ ist, besitzt die Gleichung keine Lösung. Deshalb kannst du auch kein Dreieck finden, bei dem die Seite die Länge LE besitzt.
Im folgenden Applet kannst du die Punkte und frei bewegen und dir ansehen, wie sich die Länge von verändert:
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Die Mittelpunkte der Seiten haben dieselbe Abszisse wie die Punkte . Zeigen Sie, dass für die -Koordinate der Punkte gilt:
Lösung anzeigen
Die Punkte sind Mittelpunkte der Strecken , ihre Koordinaten kannst du als den Mittelwert der Koordinaten von und berechnen. Es gilt also: und für die -Koordinaten:
Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis .
Berechnen Sie die -Koordinate des Punktes .
Lösung anzeigen
Die Basis des Dreiecks ist die Strecke , da und dieselbe Abszisse haben und das Dreieck gleichschenklig ist, haben der Punkt und der Punkt die selbe y-Koordinate. Es gilt also:
Diese Gleichung ist wieder mit der Mitternachtsformel lösbar:
Du erhältst die Werte und . In der Angabe wurde geklärt, dass nur positive Werte annehmen soll, deshalb ist die -Koordinate des Punkts also .
