Die Parabel mit dem Scheitel verläuft durch den Punkt . Sie hat eine Gleichung der Form mit und ; . Die Gerade hat die Gleichung mit .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Geben Sie die Gleichung der Symmetrieachse der Parabel an und zeigen Sie rechnerisch, dass die Parabel die Gleichung hat.
Zeichnen Sie die Parabel und die Gerade für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; .
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Du weißt anschaulich, dass die Symmetrieachse einer Parabel immer durch ihren Scheitelpunkt und parallel zur -Achse verläuft. Da der Scheitelpunkt mit in der Aufgabenstellung angegeben ist, lautet die Gleichung der Symmetrieachse .
Um zu zeigen, dass die Parabel der Gleichung genügt, kannst du ausnutzen, dass die Punkte und auf der Parabel liegen. Da der Scheitelpunkt bereits gegeben ist, kannst du gleich die Scheitelpunktform verwenden. Für unsere Parabel lautet sie:
Um den Parameter zu bestimmen, setzt du den Punkt in die Scheitelpunktform ein und löst nach auf:
Unter Ausnutzung der zweiten binomischen Formel kannst du nun die Scheitelpunktform ausmultiplizieren und erhältst die gesuchte Gleichung für :
Punkte auf und Punkte auf haben dieselbe Abszisse . Sie sind zusammen mit Punkten und Eckpunkte von gleichschenkligen Trapezen mit . Die Höhen der Trapeze haben eine Länge von . Weiter gilt: .
Zeichnen Sie die Trapeze für und für in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
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Siehe Abbildung in Teilaufgabe a).
Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt der Trapeze in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: .
Teilergebnis:
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Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes lautet
Da und bereits gegeben sind, musst du noch die Länge der Strecke berechnen. Da die Punkte und die gleiche Abszisse haben, berechnet sich die Länge aus der Differenz der -Koordinaten von und :
Der Flächeninhalt des Trapezes ist dann:
Unter den Trapezen hat das Trapez den minimalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes und den zugehörigen Wert für .
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Du hast in Aufgabe c) eine allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes berechnet. Man erkennt, dass eine nach oben offene Parabel beschreibt, denn ist eine Gleichung von der Form mit . Um nun den minimalen Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Formel für mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführen, denn daraus kannst du den Scheitelpunkt und damit den minimalen Wert des Flächeninhalts direkt ablesen:
An dieser Darstellung erkennen wir, dass die Koordinaten des Scheitelpunktes von und lauten. Somit ist für
Die Trapeze und haben einen Flächeninhalt von . Berechnen Sie die zugehörigen Werte für .
Sind diese Trapeze Rechtecke? Begründen Sie Ihre Entscheidung.
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Mithilfe der Formel aus Aufgabe c) setzt man:
und löst mit der Mitternachtsformel:
Damit ist und .
In einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Du weißt, dass in jedem Fall gelten soll. Also muss
Da in einem Rechteck auch alle vorkommenden Winkel rechtwinklig () sind, muss
gelten. In diesem Fall würde sich aber ein Flächeninhalt von
ergeben. Damit können die Trapeze keine Rechtecke sein.
Berechnen Sie das Maß des Winkels .
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Bei dieser Teilaufgabe gibt es mehrere Lösungswege. Der vermutlich einfachste verwendet den Tangens, denn es gilt (wie zum Beispiel anhand der Skizze aus Teilaufgabe b) erkannt werden kann):
Wendest du nun die Umkehrfunktion des Tangens an, so erhältst du für den Winkel :