Die Parabel verläuft durch die Punkte .
Sie hat eine Gleichung der Form und .
Die Gerade besitzt die Gleichung
Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für und , dass die Parabel die Gleichung besitzt.
Zeichnen Sie sodann die Parabel und die Gerade für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; .
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Lösung a
Für diese Aufgabe benötigst du das Grundwissen: Quadratische Funktion
Um die Werte für und zu bestimmen, solltest du die Punkte und in die Parabelgleichung einsetzen. Dann erhältst du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und kannst das Gleichungssystem lösen.
Erste Gleichung:
Setze ein:
Zweite Gleichung:
Setze ein:
Jetzt kannst du zum Beispiel die erste Gleichung nach auflösen:
Setze in die zweite Gleichung ein:
Jetzt kennst du schon den Wert von . Setze ihn nun wieder in die erste Gleichung ein und du kannst auch bestimmen:
Eingesetzt in die Parabelgleichung erhältst du das Ergebnis:
Als Letztes sollst du noch zusammen mit der Geraden in ein Koordinatensystem zeichnen, das könnte so aussehen:
Punkte auf der Parabel und Punkte ) auf der Geraden haben dieselbe Abszisse . Sie sind zusammen mit Punkten auf der Geraden und Punkten für Eckpunkte von Drachenvierecken mit der Geraden als Symmetrieachse. Der Abstand der Punkte von der Geraden beträgt LE.
Zeichnen Sie die Drachenvierecke für und für in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
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Lösung b
Um das Drachenviereck einzuzeichnen, gehst du auf der -Achse zur Stelle . Dort gehst du dann senkrecht nach oben und zeichnest auf die Gerade den Punkt .
Wenn du von senkrecht nach unten gehst, kannst du auf der Parabel den Punkt einzeichnen.
Da der Punkt den Abstand zu hat, musst du für auf der -Achse Schritte nach rechts, also zur Stelle , gehen und den Punkt dann dort auf der Gerade einzeichnen.
Da es sich um ein Drachenviereck handelt, hat auch der Punkt einen Abstand von zu , liegt aber links davon, also an der Stelle . Der -Wert von ist dann derselbe, den auch besitzt.
Zum Schluss musst du nur noch die Punkte miteinander verbinden.
Beim Drachenviereck kannst du dann genauso vorgehen.
Insgesamt sieht die Zeichnung dann so aus:
Geben Sie die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte an.
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Lösung c
Die Strecke halbiert die Strecke , wenn also einen Abstand von LE zu hat, dann hat auch einen Abstand von LE zu . Die -Koordinate von erhältst du also, wenn du von der Abszisse von um Schritte in negative -Richtung gehst, sie ist also .
Die -Koordinate von entspricht der -Koordinate von . Du weißt, dass der Punkt die Abszisse hat und auf der Geraden liegt, seine -Koordinate findest du also heraus, indem du in die Geradengleichung einsetzt:
Damit hast du jetzt also die folgenden Koordinaten:
Ermitteln Sie durch Rechnung den Flächeninhalt der Drachenvierecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
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Lösung d
Für diese Aufgabe benötigst du das Grundwissen: Flächeninhalt eines Drachenvierecks
Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu berechnen, benötigst du die Längen seiner Diagonalen. Das Drachenviereck hat die Diagonalen und , in diesem Fall ist der Flächeninhalt also:
Die Länge der Strecke kennst du schon, sie hat den Wert LE.
Um die Länge der Strecke zu berechnen, solltest du bedenken, dass die Punkte und dieselbe Abszisse haben. Der Abstand zwischen den beiden entspricht also dem Abstand der -Koordinaten der Punkte, dieser ist einfach die Differenz, also:
Damit hast du jetzt auch die Länge der zweiten Diagonalen bestimmt. Nun kannst du den Flächeninhalt des Drachenvierecks berechnen:
Unter den Drachenvierecken gibt es das Drachenviereck , das die größtmögliche Streckenlänge besitzt. Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Strecke sowie die Koordinaten des Punktes .
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Lösung e
Für diese Aufgabe benötigst du das Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
In dieser Aufgabe geht es darum, die Länge der Strecke zu maximieren, du musst also eine Extremwertaufgabe lösen.
In Teilaufgabe d hast du bereits eine Formel für die Länge dieser Strecke bestimmt:
Dabei handelt es sich um eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das Maximum der Länge kannst du ablesen, wenn du den Scheitelpunkt der Funktion kennst. Diesen kannst du entweder mit der Formel oder mit quadratischer Ergänzung bestimmen.
Bestimmen des Scheitels mit der Formel
Die Formel für den Scheitelpunkt ist: , wenn du eine quadratische Funktion in der allgemeinen Form gegeben hast. Das ist hier der Fall, du musst nur noch durch Vergleichen die Werte von und bestimmen:
Hier gilt , und . Diese Werte musst du jetzt nur noch einsetzen und erhältst:
Bestimmen des Scheitels mit quadratischer Ergänzung
Alternativ kannst du den Scheitelpunkt auch herausfinden, indem du die Funktion in Scheitelform bringst. Das ist etwas aufwendiger und du benötigst quadratische Ergänzung dafür.
Zuerst kannst du den Wert ausklammern:
Jetzt ergänzt du den Term in der Klammer. Dafür teilst du die Zahl, die vor dem steht durch , in diesem Fall und nimmst das Ergebnis im Quadrat, in diesem Fall . Diese Zahl addierst und subtrahierst du nun in der Klammer:
Du siehst jetzt, dass du innerhalb der Klammer die zweite binomische Formel anwenden kannst. Anschließend kannst du die Klammer ausmultiplizieren und alles zusammenfassen:
Jetzt musst du den Scheitelpunkt nur noch aus dem Term ablesen und erhältst: .
Die größtmögliche Streckenlänge entspricht der y-Koordinate des Scheitelpunkts, also .
Zusätzlich gibt dir der Scheitelpunkt auch die Abszisse der zugehörigen Punkte und an. Die Abszisse des Punkts ist dann . Da auf der Geraden liegt, kannst du diesen Wert einfach in die Geradengleichung einsetzen und erhältst auch die y-Koordinate von :
Damit hast du nun beide Koordinaten von bestimmt.
Unter den Drachenvierecken gibt es die Drachenvierecke und , für die gilt: . Berechnen Sie die -Koordinaten der Punkte und .
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Lösung f
Die Punkte haben immer einen Abstand von zur Strecke . Für die Punkte gilt das gleiche, da sie einfach auf der anderen Seite der Strecke liegen. Die Strecke ist also immer lang.
Für die Drachenvierecke und muss also gelten:
Setze jetzt die Formel für die Länge der Strecke ein und du erhältst eine Gleichung, die du nach auflösen kannst:
Klammere jetzt aus:
Auf der linken Seite der Gleichung stehen jetzt Faktoren, damit am Ende herauskommt, muss also einer der beiden Faktoren selbst sein.
Die erste Lösung ist also
Für die zweite Lösung schaust du dir den anderen Faktor an und setzt ihn gleich :
Damit ist die zweite mögliche Lösung .
Begründen Sie, dass das Maß der Winkel für alle Drachenvierecke gleich ist.
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Lösung g
Der Winkel wird am Punkt von den Strecken und aufgespannt. Die Strecke liegt dabei auf der Geraden , während die Strecke parallel zur x-Achse verläuft.
Das Maß des Winkels entspricht also dem Maß des Winkels zwischen und der x-Achse. Dieser Winkel hat aber immer dasselbe Maß und deshalb ist auch das Maß von für alle Drachenvierecke gleich.
Im folgenden Applet kannst du dir das nochmal veranschaulichen, in dem du das Drachenviereck mithilfe des Schiebereglers veränderst.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.