Die Parabel verläuft durch die Punkte und . Sie hat eine Gleichung der Form mit und , .
Die Gerade hat die Gleichung mit .
Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für und , dass die Parabel die Gleichung hat.
Zeichnen Sie sodann die Gerade sowie die Parabel für in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit ;
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Lösung zur Teilaufgabe a
Bei dieser Teilaufgabe sollst du eine Parabelfunktion aufstellen und danach den Graphen dieser in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Aufstellen der Parabelfunktion
Um die Parameter der Parabelfunktion zu bestimmen, setzt du die beiden Punkte und jeweils in die Parabelgleichung ein und erhältst so ein Gleichungssystem.
Setze zuerst den Punkt in die Parabelgleichung ein.
Daraus erhältst du deine erste Gleichung. Die zweite erhältst du durch Einsetzen von .
Diese zwei Gleichungen kannst du nun beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren lösen.
Löse dazu die erste Gleichung nach auf.
Setze in die zweite Gleichung ein:
Löse diese Gleichung nach auf:
Umformung: -4
Umformung: :16
Du erhältst . Berechne nun mithilfe von den Wert für .
in :
Setze und nun in die Parabelgleichung aus der Angabe ein.
Zeichnen der Parabel und der Geraden
Um die Parabel zu zeichnen, kannst du dir eine Wertetabelle über deinen Taschenrechner ausgeben lassen. Anschließend überträgst du die Punkte in dein Koordinatensystem.
Für die Gerade suchst du dir einen passenden Punkt, bei dem du anfangen kannst. Am besten funktioniert .
In diesem Fall erhältst du dann . Damit erhältst du den Punkt .
Von diesem Punkt ausgehend zeichnest du nun ein Steigungsdreieck für die Steigung und zeichnest die Gerade ein.
Punkte auf der Parabel und Punkte auf der Geraden haben dieselbe Abszisse .
Sie sind zusammen mit Punkten und für die Eckpunkte von Parallelogrammen .
Die Punkte liegen ebenfalls auf der Geraden . Dabei ist die Abszisse der Punkte jeweils um größer als die Abszisse der Punkte .
Zeichnen Sie die Parallelogramme für und für in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.
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Lösung zur Teilaufgabe b
In dieser Teilaufgabe geht es darum, zwei Parallelogramme mit genauen Eckpunkten in die Zeichnung der Teilaufgabe a) einzuzeichnen.
Betrachte zuerst die Punkte und .
Die Punkte liegen auf der Parabel. Du kannst den ersten Punkt einzeichnen, indem du bei den zugehörigen Punkt auf der Parabel markierst.
Die Punkte liegen auf der Geraden. Für bleibt . Suche den zugehörigen Punkt auf der Geraden, zeichne ihn ein und beschrifte ihn!
Die beiden Punkte kannst du direkt mit der Strecke verbinden, die parallel zur -Achse verläuft.
Die Punkte liegen ebenfalls auf der Geraden . Die Abszisse ist dabei um genau größer als bei den Punkten . Konkret bedeutet das also für unser erstes Parallelogramm:
Zeichne den Punkt auf der Geraden bei ein!
Der Punkt soll nun dieselbe Abszisse haben wie der Punkt . Dadurch weißt du also, dass er auch auf der -Achse liegen muss.
Um ihn jetzt genau bestimmen zu können, musst du die Eigenschaften des Parallelogramms betrachten. Dabei sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.
Du weißt also, dass parallel zu sein muss. Damit ist diese Seite auch parallel zur Geraden .
Zeichne eine parallele Gerade durch den Punkt und suche die Schnittstelle mit der -Achse, um den Punkt zu finden!
Für das zweite Parallelogramm wiederholst du die oben genannten Schritte. und liegen bei . und liegen bei .
Du solltest folgendes Bild erhalten:
Berechnen Sie die Länge der Strecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
Ergebnis:
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Lösung zur Teilaufgabe c
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Länge der Strecke in Abhängigkeit von der Abszisse angeben.
Du sollst also bestimmen. Dafür musst du dir die spezielle Lage der Punkte anschauen. Die Punkte liegen auf der Parabel , die Punkte liegen auf . Die -Werte der beiden Punkte sind immer gleich.
Die Länge der Strecke zwischen diesen Punkten ergibt sich dadurch, indem du den -Wert von von abziehst.
Da die -Werte jeweils durch die Funktionen und dargestellt werden, kannst du die folgende Rechnung aufstellen:
Du erhältst somit für die Strecke die von -abhängige Strecke .
Überprüfen Sie rechnerisch, ob es unter den Parallelogrammen ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt von gibt.
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Lösung zur Teilaufgabe d
Bei dieser Teilaufgabe sollst du herausfinden, ob es ein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von gibt.
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich mithilfe der folgenden Formel bestimmen:
Dabei ist die Grundlinie und die dazugehörige Höhe.
Die Seite hast du bereits bestimmt.
Die dazugehörige Höhe entspricht in diesen Parallelogrammen immer genau dem Abstand der Abszissen von und .
Damit bleibt die Höhe immer bei einem Wert von
Stelle nun den Term für den Flächeninhalt auf!
Um zu entscheiden, ob es einen Flächeninhalt von gibt, musst du diesen Wert mit dem Term für den Flächeninhalt gleichsetzen.
Stelle diese Gleichung um, sodass auf der linken Seite steht.
Umformung: -13
Löse diese Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel
Unter der Wurzel in der Mitternachtsformel kommt ein negativer Wert heraus. Aus diesem Grund ist die Gleichung nicht lösbar.
Du kannst darauf folgern, dass es kein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt gibt.
Unter den Parallelogrammen gibt es die Rauten und . Berechnen Sie die -Koordinate der Punkte und auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. Teilergebnis:
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Lösung zur Teilaufgabe e
In dieser Teilaufgabe sollst du die -Koordinaten der Punkte und der Rauten und bestimmen.
Grundlage zur Lösung dieser Aufgabe sind die Eigenschaften einer Raute. Bei Rauten haben alle vier Seiten die gleiche Länge.
Du weißt bereits, dass die Längen und bei jedem der Parallelogramme dieselbe Länge haben. Das ergibt sich durch ihre Lage auf der Geraden und dem festen Unterschied der Abszisse zwischen den Punkten.
Bestimme daher nun die Länge dieser Strecke!
Du kannst die Strecke über das Steigungsdreieck der Geraden berechnen, wobei das Steigungsdreieck an den Punkten und ansetzt. Siehe Skizze.
kannst du jetzt über den Satz des Pythagoras berechnen.
Bei einer Raute müssen nun die anderen beiden Seiten und dieselbe Länge, nämlich haben.
In der Aufgabe c) hast du bereits eine Formel zur Bestimmung der Strecke aufgestellt. Setze diese mit gleich und löse nach auf!
Umformung: -2,01
Nutze die Mitternachtsformel, um diese Gleichung zu lösen:
Du erhältst:
Die -Werte der Punkte und sind und .
Begründen Sie, dass es unter den Parallelogrammen kein Rechteck gibt.
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Lösung zur Teilaufgabe f
Bei dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass es kein Rechteck gibt. Du kannst es zum Beispiel mit folgender Überlegung begründen:
Die Strecken und verlaufen immer entlang derselben Abszisse, sie sind also parallel zur -Achse.
Die Strecken und verlaufen immer auf/ bzw. parallel zur Geraden .
Die Gerade steht allerdings nicht senkrecht auf die -Achse. Es ist somit nicht möglich, dass es im Parallelogramm rechte Winkel gibt.
Somit kann es kein Rechteck geben.