Die Parabel mit dem Scheitel hat eine Gleichung der Form mit und .
Die Gerade hat die Gleichung mit .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel die Gleichung hat.
Zeichnen Sie sodann die Parabel sowie die Gerade für in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit ;
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Lösung zu a
Scheitelpunkt
Scheitelpunktform
Normalform
Vergleiche die gegebene Parabelgleichung mit der allgemeinen Normalform um zu bestimmen. Setze dann und in die Scheitelpunktform ein und vereinfache.
Zeichne die Parabel und Gerade (z.B. mit Hilfe einer Wertetabelle aus dem Taschenrechner).
Die Punkte und sind die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden . Sie sind zusammen mit Punkten auf der Parabel Eckpunkte von Drachenvierecken mit der Geraden als Symmetrieachse.
Zeichnen Sie das Drachenviereck für in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein und geben Sie das Intervall für an, für das es Drachenvierecke gibt.
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Lösung zu b
und sind die Schnittpunkte von und .
liegen auf der Parabel
bilden Drachenvierecke mit als Symmetrieachse
Berechne indem du in einsetzt:
Drachenvierecke gibt es, solange zwischen und liegt.
Zeigen Sie rechnerisch, dass das Drachenviereck bei rechtwinklig ist.
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Lösung zu c
, ,
Um zu zeigen, dass das Dreieck rechtwinklig ist, zeige, dass der Satz des Pythagoras erfüllt ist.
Berechne dafür zunächst die Seitenlängen , und .
Überprüfe mit diesen Streckenlängen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.
sollte dabei die Hypotenuse sein.
Der Satz des Pythagoras ist erfüllt, damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei .
Unter den Drachenvierecken gibt es die Drachenvierecke und , bei denen die Eckpunkte und auf der x-Achse liegen.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte und .
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Lösung zu d
Die Punkte liegen auf der Parabel . Die Punkte und liegen auf der -Achse und sind deshalb die Nullstellen von . Um die Nullstellen zu berechnen, setze in der Parabelgleichung und löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt der Drachenvierecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt:
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Lösung zu e
Gegeben sind die folgenden Punkte des Drachenvierecks:
Das Drachenviereck kannst du in die zwei Dreiecke und aufteilen. Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke sind aufgrund der Symmetrie vom Drachenviereck gleich.
Die Fläche vom Dreieck kannst du über die Determinante berechnen:
Um auf die Fläche des Drachenvierecks zu kommen, nehmen wir nun diese Fläche doppelt und kommen auf:
Berechne dazu die beiden Vektoren.
Anschließend kannst du die Determinante bestimmen.
Der Flächeninhalt des Drachenvierecks in Abhängigkeit von ist .
Alternative Lösung zu e
Das Drachenviereck besteht aus zwei Dreiecken und mit gleichem Flächeninhalt. Um den Flächeninhalt von zu berechnen, teile es in zwei Dreiecke und auf.
Beide Dreiecke haben die gleiche Grundseite . Berechne als Abstand zwischen und in -Richtung. Die Höhen und sind der Abstand zwischen und bzw. in -Richtung.
Addiere zunächst allgemein und und den Flächeninhalt des Dreiecks zu erhalten und multipliziere mit um den Flächeninhalt des Drachenvierecks zu erhalten.
Setze , und in ein.
Unter den Drachenvierecken gibt es die Raute .
Zeichnen Sie die Raute mit dem Diagonalenschnittpunkt in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Gleichung der Geraden .
Teilergebnis:
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Lösung zu f
,
Die Gerade ist senkrecht zu und verläuft durch den Punkt . Berechne zunächst die Koordinaten von .
liegt in der Mitte zwischen und
Berechne nun aus dem Wissen, dass beide Geraden rechtwinklig zueinander sind, die Steigung von .
Für rechtwinklige Geraden mit Steigungen und gilt: .
Damit ist die Steigung
Setze jetzt die Steigung und in die allgemeine Geradengleichung ein und bestimme den fehlenden Parameter .