Für das Viereck gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma
Zeichnen Sie das Viereck und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels .
Ergebnisse:
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Teilaufgabe a
Zeichnung des Vierecks :
- Strecke
- Verbinde abschließend die Punkte und .
Länge der Strecke über den Kosinussatz im Dreieck :
Maß des Winkels über den Sinussatz im Dreieck :
Umformung: \sin^{-1}
Berechnen Sie den Umfang des Vierecks .
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Teilaufgabe b
im Dreieck :
im Dreieck ABC mit dem Satz des Pythagoras:
im Dreieck mithilfe des Kosinussatzes:
Bemerkung: Alternativ könne wir die Länge der Strecke auch mit dem Kosinussatz im Dreieck berechnen. Der Winkel ist ja leicht zu berechnen:
Der Kreis um berührt die Strecke im Punkt und schneidet die Strecke im Punkt .
Zeichnen Sie die Strecke und den zugehörigen Kreisbogen in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt der Figur, die durch die Strecken , und den Kreisbogen begrenzt wird.
Teilergebnis:
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Zeichnung der Strecke und des Kreisbogens :
- Der Kreis berührt die Strecke im Punkt , daher muss die Strecke in einem rechten Winkel zu stehen: Fälle der Lot von auf die Strecke .
- Schnittpunk der Strecke und der Senkrechten ist der Punkt .
- Zeichne nun den Kreis um mit Radius .
- Der Schnittpunkt der Kreislinie und der Strecke ist der Punkt .
Flächeninhalt der entstandenen Figur :
- Fläche des Dreiecks :
im rechtwinkligen Dreieck mithilfe der Trigonometrie
():
Umformung: \cdot10\;\text{cm}
Bemerkung: Alternativ können wir die Länge von auch mit dem Satz des Pythagoras berechnen, die Längen von und sind ja bekannt.
im rechtwinkligen Dreieck mithilfe der Trigonometrie
- Fläche des Kreissektors:
im Dreieck über die Innenwinkelsumme im Dreieck:
Punkte auf der Strecke mit bilden für und zusammen mit dem Punkt Strecken .
Zeichnen Sie die Strecke für in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.
Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt: .
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Teilaufgabe d
Zeichnung der Strecke für
- (pink) und
- Verbinde die Punkte und
Länge der Strecke in Abhängigkeit von mithilfe des Kosinussatzes im Dreieck :
Warum der Kosinussatz?
- Voraussetzung: Wir kennen in diesem Dreieck zwei Seiten mit dem eingeschlossenem Winkel, wenn diese Voraussetzung gegeben ist, kann ich den Kosuinussatz verwenden und die dritte Seite berechnen.
- Voraussetzung: Wir kennen alle drei Seiten, dann kann ich einen Winkel berechnen.
Winkel :
Umformung: \sqrt{}
Unter den Strecken hat die Strecke die minimale Länge.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für und die Länge der Strecke .
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Teilaufgabe e
Der zugehörige Wert für :
Die Strecke ist minimal, wenn senkrecht auf steht (siehe Bild).
Das Dreieck ist rechtwinklig, somit kannst du die Länge mithilfe der Trigonometrie berechnen:
Wenn du die genaue Länge berechnen willst, kannst du x in die obige Gleichung einsetzen:
Alternative Berechnung
Überprüfen Sie durch Rechnung, ob das Dreieck gleichschenklig ist.
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Teilaufgabe f
Das Dreieck ist nicht gleichschenklig:
- Die Länge mithilfe des Kosinussatzes:
und in Aufgabe c) berechnet
Es ist also:
Damit ist das Dreieck nicht gleichschenklig.