Betrachtet wird die Schar der in definierten Funktionen mit
und {.}
Geben Sie in Abhängigkeit von das Verhalten von für an und begründen Sie Ihre Angabe. (3 P)
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Verhalten von für
Fallunterscheidung:
ungerade, also , usw.
Für ist der Graph von eine steigende Gerade.
Für und alle anderen ungeraden ist der Graph von eine Parabel , usw. Ordnung. Der Graph hat einen Terrassenpunkt .
Der Koeffizient von ist positiv.
Dann gilt für alle ungeraden :
gerade, also , usw.
Für und alle anderen geraden ist der Graph von eine Parabel , usw. Ordnung. Der Graph hat einen Tiefpunkt .
Der Koeffizient von ist positiv.
Dann gilt für alle geraden :
Ermitteln Sie die Koordinaten der beiden Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. (3 P)
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Gemeinsame Punkte
Es ist :
Zur Berechnung des Schnittpunktes setze :
Umformung: -1
Diese Gleichung hat die Lösung , denn für .
Der Funktionswert für ist
Für folgt:
Umformung: :(x-3)^{k_2}
Da ist, darf durch geteilt werden.
Wende ein Potenzgesetz an.
Da kann der Exponent nicht null werden. Eine weitere Lösung findet man nur, wenn ist, da ist für .
Der Funktionswert für ist
Es gibt also zwei Punkte und , die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.
Die erste Ableitungsfunktion von wird mit bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:
"Es gibt genau einen Wert von für den der Graph von Tangente an den Graphen von ist." (6 P)
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Die Graphen von und werden in der Abbildung 3 für beispielhaft für gerade Werte von gezeigt, in Abbildung 4 für beispielhaft für ungerade Werte von .
Für werden die Punkte , und betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.
Begründen Sie, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist und zeigen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:
"Für jeden geraden Wert von k mit stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für und der Flächeninhalt des Trapezes für überein". (7 P)
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Die Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Trapezes
Die Punkte und haben die -Koordinate , d.h. die Strecke ist parallel zur -Achse.
Die Punkte und haben die -Koordinate , d.h. die Strecke ist parallel zur y-Achse.
Die beiden Strecken sind also parallel zueinander. Die Vierecke bzw. sind somit immer Trapeze.
Für jeden geraden Wert von k mit stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für und der Flächeninhalt des Trapezes für überein
Trapezfläche für k und k ist gerade
Gegeben sind die beiden Funktionen:
und
Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man nach der Formel:
Die Höhe aller Trapeze ist immer (Differenz der -Koordinaten).
Die Seite entspricht der Strecke und entspricht der Strecke .
Dann gilt für den Flächeninhalt des Trapezes :
, dabei gilt für die Einheit .
, da ist ( ist hier gerade).
, da ist ( ist hier ungerade).
Trapezfläche für k+1 und k+1 ist ungerade
Gegeben sind die beiden Funktionen:
und
Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt:
, dabei gilt für die Einheit .
, da ist (k ist gerade).
, da ist ( ist hier ungerade).
Damit haben die beiden Trapeze den gleichen Flächeninhalt von .
Für jeden geraden Wert von k mit stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für und der Flächeninhalt des Trapezes für überein.
In der folgenden Abbildung ist das Trapez für gezeichnet. Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Die dient nur zur Veranschaulichung.
