Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig Stau. An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 6:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in definierten Funktion mit
beschrieben werden. Dabei gibt die nach 6:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde an. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von für .
Für die erste Ableitungsfunktion von f gilt
Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat und begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms , dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt. (3 P)
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- Teil 1Setze gleich null.
- Teil 2Die Funktion hat den Grad , d.h. der Graph der Funktion hat maximal vier einfache Nullstellen. Die ersten beiden Nullstellen sind einfache Nullstellen. Die Nullstelle ist eine doppelte Nullstelle. Es gibt also insgesamt vier Nullstellen und keine weiteren.
Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat
Setze gleich null:
Es wird der Satz vom Nullprodukt angewendet.
Es ist oder oder .
Also ist und/oder und/oder .
Zu diesen x-Werten gehören die Uhrzeiten Uhr, Uhr und Uhr. Zu diesen Zeiten ist die momentane Änderungsrate der Staulänge gleich null.
Die Funktion hat den Grad , d.h. der Graph der Funktion hat maximal vier einfache Nullstellen.
Die ersten beiden Nullstellen sind einfache Nullstellen. Die Nullstelle ist eine doppelte Nullstelle. Es gibt also insgesamt vier Nullstellen. Somit gibt es keine weiteren Nullstellen und keine weiteren Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.
Es gilt . Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an. (1 P)
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- heißt, die Uhrzeit ist Uhr, also Stunden nach dem Beginn des Staus.
- Wenn der Funktionswert negativ ist, heißt das, die Staulänge nimmt zu diesem Zeitpunkt ab.
Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an
Es ist .
heißt, die Uhrzeit ist Uhr, also Stunden nach dem Beginn des Staus.
Der Funktionswert um Uhr ist negativ. Die Staulänge nimmt um Uhr ab.
Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. (5 P)
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- Setze . und
- Betrachtet man den Graphen von , so liegt der gesuchte Hochpunkt beim kleinsten -Wert der drei gefundenen Werte, bei dem der Graph eine waagrechte Tangente hat.
Maximale Änderungsrate
Gesucht ist der Hochpunkt des Graphens der Funktion .
Setze :
Verwende zur Lösung dieser Gleichung den Satz vom Nullprodukt.
Es ist oder
Lösung der Gleichung
Hier wird die Mitternachtsformel verwendet.
Die Werte für , und werden abgelesen und eingesetzt:
, und
Setze , und ein.
Vereinfache.
Vereinfache.
Somit ist und .
Lösung der Gleichung
Umformung: +\dfrac{x}{4}
Umformung: \cdot 4
Die dritte Lösung von ist .
Betrachtet man den Graphen von , so liegt der gesuchte Hochpunkt beim kleinsten -Wert, bei dem der Graph eine waagrechte Tangente hat, also bei .
Zu diesem -Wert gehört die Uhrzeit Uhr. Somit nimmt die Staulänge um Uhr am stärksten zu.
Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 P)
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- Die maximale Staulänge wird erreicht, wenn die Funktion (die momentane Änderungsrate) die -Achse schneidet. (siehe Aufgabe a).
Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründe Deine Angabe
Die maximale Staulänge wird erreicht, wenn die Funktion (die momentane Änderungsrate) die -Achse schneidet. Hier wechselt vom Positiven ins Negative.
Dieser Zeitpunkt wurde schon in Aufgabe a) berechnet. Es ist .
Um Uhr ist die Staulänge maximal.
Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion die in definierte Funktion mit
von Bedeutung.
Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: "Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von Uhr bis Uhr durch die Funktion angegeben werden." Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich der Stau um Uhr vollständig aufgelöst hat. (4 P)
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Teil 1
- Zeige:
Teil 2
- Wenn sich der Stau um Uhr (hier ist ) vollständig aufgelöst hat, muss gleich null sein.
Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von Uhr bis Uhr durch die Funktion angegeben werden
Die Funktion gibt dann die Staulänge an, wenn eine Stammfunktion von ist.
Es muss gelten:
Die Ableitung von wird berechnet und mit der Funktion verglichen.
Somit ist eine Stammfunktion von .
Weiterhin gilt:
Die Staulänge um Uhr ist gleich null, d.h. hier beginnt gerade der Stau.
Die Funktion ist also die zu gehörende Stammfunktion.
Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich der Stau um Uhr vollständig aufgelöst hat.
Wenn sich der Stau um Uhr (hier ist ) vollständig aufgelöst hat, muss gleich null sein.
Setze ein:
Somit hat sich der Stau um Uhr vollständig aufgelöst.
Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von Uhr bis Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die mittlere Änderungsrate der Staulänge. (3 P)
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Teil 1
- Berechnet werden muss die Differenz .
Teil 2
- Hier muss der Differenzenquotient berechnet werden.
Zunahme der Staulänge
Um Uhr ist und um Uhr ist .
Berechnet werden muss also die Differenz .
Vereinfache.
Vereinfache.
Der Stau hat von Uhr bis Uhr um rund zugenommen.
Mittlere Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum
Hier muss der Differenzenquotient berechnet werden:
Setze und ein.
Die mittlere Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum beträgt rund .
Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 6:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist die nach 6:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde.
Um 7:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markieren Sie diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründen Sie Ihre Markierung und veranschaulichen Sie Ihre Begründung in der Abbildung 2. (3 P)
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- Um Uhr also bei hat der Stau eine bestimmte Länge.
- Der Graph schneidet die -Achse bei .
- Finde eine zweite Stelle , sodass der Flächeninhalt (oberhalb der x-Achse) von bis genauso groß ist, wie der Flächeninhalt (unterhalb der x-Achse) von bis .
Markiere diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründe Deine Markierung und veranschauliche Deine Begründung in der Abbildung 2
Um Uhr, d.h. bei hat der Stau eine bestimmte Länge. Die Staulänge nimmt ab weiter zu, da die momentane Änderungsrate positiv ist. Die Zunahme erfolgt so lange, bis der Graph die -Achse schneidet. Das ist bei , d.h. um etwa Uhr der Fall. Ab Uhr muss dann der Stau sich um den gleichen Betrag verringern, um den er von bis Uhr zugenommen hat. Das ist etwa bei ( Uhr) der Fall.
Um etwa Uhr hat der Stau die gleiche Länge wie um Uhr.
Die Flächen zwischen dem Graphen und der -Achse einmal im Bereich von bis und dann von bis müssen demnach gleich groß sein.
In der folgenden Abbildung sind die beiden gleich großen Flächen und der Zeitpunkt der gleichen Staulänge wie um Uhr markiert (blauer Punkt).
