Aufgabe B2
Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide mit der Höhe [], deren Grundfläche die Raute mit dem Diagonalenschnittpunkt ist.
Es gilt: ; ; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: ; .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels . (4 P)
Teilergebnisse: ;
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Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide
Wenn du nicht mehr weißt, wie man Schrägbilder zeichnet,
dann schau dir noch einmal den Artikel Schrägbilder zeichnen
an.
Schrägbild der Pyramide
Berechnung der Länge der Strecke
Berechnung des Maßes des Winkels
Der Punkt liegt auf der Strecke mit . Punkte liegen auf der Strecke mit ; . Zusammen mit den Punkten und bilden sie Dreiecke .
Zeichnen Sie die Strecke für in das Schrägbild zu 2a) ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch den Flächeninhalt des Dreiecks sowie das Maß des Winkels (4 P)
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Einzeichnen der Strecke
Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks
Berechnung Maß des Winkels mit dem Sinussatz:
Berechne zuerst die Seite mit dem Kosinussatz
Berechne jetzt den Winkel
Für den Winkel gilt: .
Zeichnen Sie die Strecke in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie den zugehörigen Wert für . (2 P)
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Einzeichnen der Strecke
Hinweis:
Berechnen der Strecke
Die Punkte sind Mittelpunkte von Strecken , wobei gilt: , und . Die Dreiecke sind Grundflächen von Pyramiden , wobei die Spitze der Pyramiden mit dem Höhenfußpunkt ist.
Zeichnen Sie die Pyramide und die Pyramidenhöhe in das Schrägbild zu 2a) ein. (1 P)
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Einzeichnen der Pyramideund der Höhe
Zeigen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: . (4 P)
Zwischenergebnis:
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Berechne zuerst undmithilfe des Strahlensatzes.
Berechnung von :
Berechnung von:
Volumen der Pyramide in Abhängigkeit von x :
Unter den Pyramiden hat die Pyramide das maximale Volumen.
Geben Sie den zugehörigen Wert für und das maximale Volumen an. (2 P)
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Die Pyramidehat das maximale Volumenwenn ist.
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Aus Teilaufgabe e) weiß man, dass das Volumen der Pyramide beschreibt.
Diese quadratische Funktion beschreibt eine Parabel. Wir suchen ihren höchsten Punkt auf dem Intervall .
Der linke Teil der Parabel ist hier dargestellt.
Der höchste Punkt auf dem Intervall ist der Punkt und damit die Antwort auf die Frage.
Ohne Skizze kommt man auch auf das Ergebnis. Die Parabel hat den Scheitel bei . Da sie links und rechts davon nur noch steigt, muss sie den höchsten Punkt da haben, wo man am weitesten vom Scheitel weg ist.
Auf dem Intervall ist das dann an der Stelle . Durch das Einsetzen in die Volumenformel erhält man die y-Koordinate des Punktes .