Der Graph einer auf definierten ganzrationalen Funktion f vom Grad drei verläuft durch den Punkt und besitzt im Schnittpunkt mit der y-Achse einen Wendepunkt. Für die Wendetangente gilt: mit der Definitionsmenge .
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von auf.
(Mögliches Teilergebnis: ) (6 BE)
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- Stelle zunächst die allgemeinen Funktionsterme für eine Funktion 3. Grades und ihre Ableitungen auf.
- Suche dir danach alle gegebenen Informationen zusammen und stelle die zugehörigen Bedingungsgleichungen auf. Da die Funktion vom Grad 3 ist und keine Symmetrie zum Koordinatensystem vorliegt, brauchst du vier Bedingungsgleichungen.
- Vereinfache und löse anschließend das Gleichungssystem.
Term von f, f' und f'' mit Variablen angeben
Da die Funktion vom Grad 3 ist und keine Aussage über die Symmetrie bekannt ist, hat die Form
Und für die Ableitungen gilt:
Bedingungsgleichungen aufstellen
I) geht durch
II) Wendepunkt auf y-Achse
III) Steigung der Wendetangente t:
IV) Koordinaten des Wendepunkts
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I) Geht ein Graph durch einen Punkt , so erhältst du, wenn du den x-Wert des Punktes in den Funktionsterm einsetzt, den y-Wert des Punktes als Funktionswert. Deshalb ist .
II) Die x-Koordinate aller Punkte auf der y-Achse ist . Damit ein Graph einen Wendepunkt bei besitzt, muss die zweite Ableitung dort eine Nullstelle haben, also . Zusammen ergibt sich: .
III) und IV) Eine Wendetangente ist eine Tangente an einen Graphen durch einen der Wendepunkte. Daraus bekommst du gleich mehrere Informationen:
- Die Tangente hat an dem Punkt, an dem sie den Graphen berührt, die gleiche Steigung. Der x-Wert dieses Punktes ist . Die Steigung an einer bestimmten Stelle entspricht dem Wert der 1. Ableitung an dieser Stelle. Da eine Gerade überall die gleiche Steigung besitzt, ist
- Die Tangente im Punkt hat mit dem Graphen von f den Punkt P gemeinsam. Da der Wendepunkt bei liegt, kannst du die y-Koordinate des Wendepunkts also auch mit der Tangente berechnen:
Setze in den Term von oben ein und vereinfache:
I)
II)
III)
IV)
Lösen des Gleichungssystems
Da b, c und d jetzt bereits bekannt sind, kannst du damit a ermitteln:
b,c und d in I)
Umformung: +1
Umformung: \cdot\left(-1\right)
Insgesamt also
Bestimmen Sie jeweils Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte von und begründen Sie, warum nur eine einfache Nullstelle besitzt. (8 BE)
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Zur Bestimmung der Art und Koordinaten von Extremstellen führst du die folgenden Schritte aus:
- Ableitung bilden
- Nullstellen der Ableitung bestimmen. Dies sind die Kandidaten für Extremstellen.
- Nachweis der Extremstellen über2. Ableitung oderMonotonietabelle oderSkizze
- Lage über das Einsetzen in die Ausgangsfunktion f
Anschließend kannst du mithilfe der gefundenen Extremstellen die weiterführende Frage beantworten, eventuell hilft eine Skizze dabei.
1. Ableitung
Die erste Ableitung der Funktion ist
Nullstellen der 1. Ableitung
Löse:
Umformung: -2
Umformung: :\left(-4,5\right)
Ziehe die Wurzel. Du erhältst zwei Lösungen
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Da die Vielfachheit der gefundenen Nullstellen der Ableitung jeweils 1 ist, handelt es sich um Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. Daraus kannst du schließen, dass beide Nullstellen von Extremstellen von sind.
Nachweis und Art über 2. Ableitung
(Alternativ kannst du mit einer Monotonietabelle oder einer aussagekräftigen Skizze der Ableitungsfunktion arbeiten.)
Bilde die 2. Ableitung:
Setze die gefundenen x-Werte in die 2. Ableitung ein:
Lage der Extrempunkte
Setze die gefundenen x-Werte in die Ausgangsfunktion ein:
und somit
und somit
Folgerung zur Nullstelle
Beide Extrempunkte liegen oberhalb der x-Achse. Aufgrund des negativen Leitkoeffizienten und des ungeraden Grades kommt die Funktion vom II. Quadranten ("von oben") und geht in den IV. Quadranten ("nach unten"). Deshalb hat sie nur eine einfache Nullstelle irgendwo rechts von ihrem Hochpunkt.
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen und die Tangente im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab für beide Achsen: (5 BE)
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- Fertige zunächst eine Wertetabelle an, damit du weißt, wie viel Platz du für die y-Achse brauchst.
- Zeichne das Koordinatensystem und markiereden Hochpunkt und den Tiefpunkt so genau wie möglichdie anderen Punkte aus der Wertetabelle
- Zeichne anschließend noch die Tangente. Beginne z.B. mit dem y-Achsenabschnitt und zeichne mithilfe eines Steigungsdreiecks.
Vergiss nicht, die Graphen zu beschriften!
Der Graph , die Tangente und die Gerade mit der Gleichung schließen im I. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in Ihrer Zeichnung aus Aufgabe c) und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. (5 BE)
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- Markiere zunächst das gesuchte Flächenstück. Du kannst zuvor die senkrechte Linie bei als Hilfestellung ergänzen.
- Du suchst den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen im Intervall .
- Um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen zu bestimmen, musst du zuvor die Differenzfunktion bilden. Dazu ziehst du den Funktionsterm des Graphen, der im Intervall weiter unten liegt, vom anderen Funktionsterm ("oberen Graphen") ab.
- Danach berechnest du wie gewohnt den Wert des bestimmten Integrals mit dieser Differenzfunktion, indem du eine Stammfunktion bestimmst, die Intervallgrenzen einsetzt und die Werte voneinander abziehst.
Flächenstück markieren
Differenzfunktion bilden
Um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen zu bestimmen, verwendest du eine Differenzfunktion. Das heißt nichts anderes, als dass du vom Funktionsterm, dessen Graph in der Zeichnung weiter oben verläuft, den Funktionsterm des anderen Graphen abziehst.
Hier verläuft im Intervall der Graph oberhalb vom Graph , also:
Minus vor der Klammer beachten!
Wert des bestimmten Integrals
Der Flächeninhalt entspricht dem Wert des bestimmten Integrals
Bestimme den zugehörigen Wert:
Bilde eine Stammfunktion von