Aufgabe B 2
Die Skizze unten zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas , dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck mit der Basis ist. ist der Mittelpunkt der Strecke .
Es gilt: ; ; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas mit der Strecke [], wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: ;
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels . (4 P)
Teilergebnisse: ;
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- Zeichnung:Zeichne die Schrägbildachse.Trage unter einem Winkel vondie Streckeum den Schrägbildfaktorverkürzt, an. Verbinde die einzelnen Punkte zu einem Prisma.
- Berechnung:Berechne mithilfe des Satz des Pythagoras.Berechne den Winkel CFM mithilfe des Tangens.
Berechne die wende den Satz des Pythagoras an.
Berechne die mithilfe des Tangens.
Für Punkte auf der Strecke gilt: ;
Zeichnen Sie das Dreieck für in das Schrägbild zu 2a) ein.
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks sowie die Länge der Strecke (3 P)
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- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel:
- Berechne mit dem Kosinussatz.
Bei einem Dreieck kann man den Flächeninhalt mit zwei Seiten und dem Sinus des Winkels dazwischen bestimmen:
Die obige Formel angewandt auf unser Dreieck ergibt:
Berechne mit dem Kosinussatz :
Das Dreieck ist die Grundfläche von Pyramiden mit den Höhen wobei gilt.
Zeichnen Sie die Pyramide und die Höhe in das Schrägbild zu 2a) ein. (1 P)
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Zeigen Sie, dass sich das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von wie folgt darstellen lässt: (3 P)
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- Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet:Berechne zuerst die Grundfläche der Pyramide. Die Grundfläche der Pyramide ist ein Dreieck. Ermittle dann die Höhe in Abhängigkeit von
Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet:
Grundfläche der Pyramide
Höhe der Pyramide
Ermittle nun die Höhe in Abhängigkeit von
Volumen der Pyramide
Setze die Grundfläche und die Höhe in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.
Das Volumen der Pyramide beträgt des Volumens des Prismas .
Ermitteln Sie durch Rechnung den zugehörigen Wert für . (2 P)
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- Berechne das Volumen des Prismas.
- Berechne 15% von diesem Volumen. Dies ist das Volumen der Pyramide .
- Ermittle den zugehörigen Wert für .
Volumen des Prismas:
Volumen der Pyramide
Ermittlung des zugehörigen Wertes für
Bei beträgt das Volumen der Pyramide
des Volumens des Prismas.
Unter den Punkten hat der Punkt die kürzeste Entfernung zu .
Zeichnen Sie die Pyramide in das Schrägbild zu 2a) ein.
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels . (4 P)
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- Berechne zuerstmithilfe des Kosinus.
- Dann kannst du mit dem Tangens berechnen.
Der Winkelbeträgt