Aufgabe A2
Die Strecke mit dem Mittelpunkt ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks . Dieses Dreieck ist die Grundfläche der Pyramide mit der Höhe .
Es gilt: ; ; .
Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide . In der Zeichnung gilt: ; .
liegt auf der Schrägbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Berechnen Sie das Maß des Winkels . (1 P)
Ergebnis:
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Das Dreieck ist bei rechtwinklig. Daher wird der Winkel mit dem Tangens berechnet.
Berechnung des Winkels
Für den Winkel ist die Strecke die Gegenkathete und die Strecke die Ankathete.
Punkte liegen auf der Strecke . Die Winkel haben das Maß mit
. Punkte liegen auf der Strecke mit . Die Dreiecke sind die Grundflächen der Pyramiden mit der Spitze und der Höhe .
Zeichnen Sie die Strecken [] und [] sowie die Pyramide für in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. (2 P)
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Zeichne die Strecken und und Pyramide für
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
Die Länge der Strecke ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für an. (3 P)
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Bestimme den Winkel und verende den Sinussatz.
geg.:
ges.: Rechnerischer Nachweis für
Nachweis von
Im Dreieck ist der Winkel bei und der bei bekannt. Daher ist der Winkel bei gerade .
Verwende nun die Beziehung .
1. Nachweis für durch Bildung von Verhältnis der Strecken- und Sinus-Werte
auflösen nach
Zugehöriger Wert für , damit minimal ist
Der Bruch wird am kleinsten, wenn der Nenner am größten ist. Bestimme so, dass der Sinus von dort steht:
Alternativer Rechenweg
Die Länge der Strecke wird minimal, wenn der Winkel bei .
Dann ist wegen der Winkelsumme im Dreieck der
Winkel .
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt: (3 P)
Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide
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- Berechne die Länge der Strecke als Kathete im rechtwinkligen Dreieck .
- Berechne das Volumen der Pyramide mit mit der Formel für das Volumen einer Pyramide.
geg.: , Identität ≙
ges.:
1. Länge der Strecke
2. Volumen der Pyramide
Berechnung Länge der Strecke
Es gilt: für
Mit gegebenem und Identität:
q.e.d.
Volumen der Pyramide berechnen:
Für gilt:
Mit ,
mit und mit