Hier werden die Zusammenhänge von Linearkombinationen, (linearen) Gleichungssysteme und Matrizen gezeigt.
Das Ziel ist es, zu verstehen, wieso ein lineares Gleichungssystem (siehe Bild) geschrieben werden kann als Matrix.
Linearkombinationen und Gleichungssysteme
Wir beginnen mit einem Gleichungssystem:
Das kannst du mit einem der bekannten Verfahren wie Additionsverfahren oder Gaußverfahren berechnen. Die Lösung ist übrigens und .
Als nächstes schreiben wir das Systems in Vektoren um und wenden die Rechenregeln an:
Weitere Beispiele zu diesem Abschnitt
Beispiel 1
Das Gleichungssystem hat dieselben Lösungen und wie das Problem:
Wie muss man die Koeffizienten wählen, damit
wird?
Natürlich wirst du in dieser Aufgabe lieber das Gleichungssystem lösen. Eine Lösung ist übrigens
Beispiel 2
Wie kann man als Linearkombination von und darstellen?
Die Lösung erhältst du durch das Gleichungssystem
Wenn du vom System ausgehst , siehst du, dass es genau dann lösbar ist, wenn der Vektor (die rechte Seite) in der von und (die Spalten links) aufgespannten Ebene liegt.
Die Lösung ist übrigens , .
Beispiel 3
Jetzt wird noch eine ziemlich abgedrehte Methode für eindeutig lösbare Gleichungssysteme vorgestellt. Hier musst du auch das Skalarprodukt kennen. Was jetzt kommt, ist im wesentlichen dasselbe wie die Cramersche Regel.
Bestimme die Lösung von .
Umschreiben auf Linearkombination ergibt die Gleichung (G):
Immer wenn man einen Vektor hat, hat der Vektor damit das Skalarprodukt Null, ist also senkrecht dazu. Das kannst du ausnutzen, und die Gleichung (G) einmal mit (das ist senkrecht zu ersten Spalte) und einmal mit (das ist senkrecht zur zweiten Spalte) multiplizierst:
Verwende jetzt die Rechenregel für das Skalarprodukt:
Also ist und damit .
Genauso erhältst du aus
Die Lösung und damit .
Das Ganze funktioniert auch bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten. In der Gleichung
multipliziert man skalar mit den Kreuzprodukten (dann bleibt links nur das Skalarprodukt mit ) und analog mit und .
Linearkombinationen und Matrizen
Sicher hast du schon gesehen, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert:
Ist und , dann ist .
Das ist vollkommen richtig und hilfreich beim konkreten Berechnen, aber für das Verstehen formt man das noch mal um:
Unser Beispiel lässt sich deshalb so umformen:
Daher stellst du fest:
Die Frage: welche Linearkombination der Vektoren und ergibt den Vektor , also:
Wie muss ich und in der Gleichung wählen?
kann auch so formuliert werden:
Welcher Vektor löst die Matrix-Vektor-Gleichung ,? Dabei ist eine Matrix mit den Spalten und .
Weitere Beispiele zu diesem Abschnitt
Beispiel 4
Was erhältst du, wenn du die Matrix und den Vektor multiplizierst?
Antwort: .
Das ist immer so:
Beispiel 5
Umgekehrt kann man fragen: welche -Matrix hat die Eigenschaft, dass
und ist?
Die Regel oben von rechts nach links gelesen gibt die Antwort: .
Gleichungssysteme und Matrizen
Jetzt kannst du die Abschnitte über Gleichungssysteme, Linearkombinationen und Matrizen einfach zusammenfassen:
Das Gleichungssystem ganz am Anfang
schreibt sich jetzt als erweiterte Matrix
und der Vektor ist die Lösung der Gleichung
Das führt zu folgender Schreibweise
Warum das gut ist und ein weiteres Beispiel
Mit einer Matrix werden nur noch die Koeffizienten aufgeschrieben und dadurch viel Zeit und Platz gespart. Ganz besonders beim Gaußverfahren lohnt sich das.
Der Nachteil ist, dass du dich vielleicht manchmal fragst, ob eine Umformung erlaubt ist. Dann hilft es dir, wenn du die erweiterte Matrix (in Gedanken) wieder in ein Gleichungssystem zurückverwandelst.
Beispiel 7
Im Gleichungssystem (in der Schreibweise mit der erweiterten Matrix)
sind die Spalten links linear abhängig.
Ein System ist genau dann lösbar, wenn die rechte Seite eine Linearkombination der Spalten links ist. Hier ist die zweite Spalte das Doppelte der ersten, und daher ist es lösbar, wenn die rechte Seite ein Vielfaches der ersten Spalte ist. Da das offensichtlich nicht der Fall ist ( ), ist es ein unlösbares System.