Bestimme die fehlenden Wahrscheinlichkeiten
-2 | 0 | 2 | 4 | |
|---|---|---|---|---|
a | 0,5a | 0,24 |
Lösung anzeigen
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben. Nutze diese Eigenschaft, um eine Gleichung aufzustellen und zu lösen.
Du wirst die Mitternachtsformel oder p-q-Formel brauchen.
Gleichung aufstellen
Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 oder 100% ergeben muss, kann eine Gleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt werden:
Gleichung lösen
Löse diese Gleichung mithilfe deines präferierten Lösungsverfahrens
Umformung: -1
Vereinfache.
Setze in die Lösungsformel ein:
und somit (und , was kein sinnvolles Ergebnis ist, da Warscheinlichkeiten immer in liegen.
Wahrscheinlichkeiten berechnen und überprüfen
Mit können auch und berechnet werden.
Probe:
30 | 40 | 50 | 60 | |
|---|---|---|---|---|
a | b | 0,2 | 0,2 |
Es gilt
Lösung anzeigen
Da du zwei Unbekannte a und b hast, brauchst du zwei Gleichungen, um die Werte zu ermitteln:
- Die Eigenschaft, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in der Wahrscheinlichkeitsverteilung 1 ergibt ()
- Die Angabe zum Erwartungswert
Das entstandene Gleichungssystem löst du anschließend.
Aufstellen der beiden Gleichungen
Die Eigenschaft der Wahrscheinlichkeitsverteilung, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten immer den Wert 1 hat, liefert
Umformung: -0,4
Umformung: -b
bereite direkt für das Einsetzungsverfahren vor
Für den Erwartungswert verwendest du die Formel und setzt mit dem gewünschten Wert gleich:
Setze auf beiden Seiten ein
Vereinfache.
Umformung: -22
Gleichungssystem lösen
Löse das System, z.B. mithilfe des Einsetzungsverfahrens.
I in II:
Umformung: -18
Umformung: :10
Setze b in I ein:
Setze b=0,2 ein
fertige Wahrscheinlichkeitsverteilung
30 | 40 | 50 | 60 | |
|---|---|---|---|---|
0,4 | 0,2 | 0,2 | 0,2 |