Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
Lösung anzeigen
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -2
Löse nach auf.
Umformung: :4
Kürze.
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die Wurzel
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
Die Wurzel steht schon allein auf einer Seite.
- Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Wende eine binomische Formel an.
Umformung: -4x-2
Bringe alle Terme auf eine Seite.
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten.
Die Lösung der Gleichung erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, und
Setze , und ein.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Schreibe den Term als zwei Brüche.
Kürze.
Somit ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
und
3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.
Führe nun eine Probe durch:
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet:
Graphische Lösung der Wurzelgleichung als Ergänzung
Graphische Lösung der Wurzelgleichung
Setze dafür und
und zeichne die Graphen (gegebenenfalls mithilfe einer Wertetabelle) in ein Koordinatensystem.
Beim Schnittpunkt gilt:
.
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunktes der beiden Graphen liefert dann die Lösung der Wurzelgleichung.
Es ist
Lösung anzeigen
1. Definitionsbereich für die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: +2x
Löse nach auf.
Umformung: :2
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die erste Wurzel
Zweite Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: +x
Löse nach auf.
Der Definitionsbereich für die zweite Wurzel ist dann:
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
- Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
Wende eine binomische Formel an.
Fasse zusammen.
Umformung: -6+x
Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen.
Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Wende eine binomische Formel an.
Umformung: -20+4x
Bringe alle Terme auf eine Seite.
Umformung: -16
Löse nach auf.
Umformung: \sqrt{}
Du hast zwei Lösungen der quadratischen Gleichung erhalten:
und
3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.
Führe nun eine Probe durch:
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzeln.
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzeln.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet:
Graphische Lösung der Wurzelgleichung als Ergänzung
Graphische Lösung der Wurzelgleichung
Setze dafür und
und zeichne die Graphen (gegebenenfalls mithilfe einer Wertetabelle) in ein Koordinatensystem.
Beim Schnittpunkt gilt:
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunktes der beiden Graphen liefert dann die Lösung der Wurzelgleichung.
Es ist
