Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
Lösung anzeigen
Folgende Schritte sind erforderlich:
- Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
- Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
- Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
- Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
- Erhaltene Gleichung lösen
- Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
- Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereiche für die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Die erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: +1
Löse nach auf.
Umformung: :2
Die zweite Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -1
Löse nach auf.
Umformung: :3
Die dritte Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -4
Löse nach auf.
Umformung: :9
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung
ist dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren. Denke daran, auf der linken Seite eine binomische Formel anzuwenden.
Fasse die Terme auf der linken Seite zusammen.
Umformung: -5x
Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
Umformung: :2
Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Klammern ausrechnen und Binomische Formel anwenden.
Umformung: -4x^2-8x-4
Bringe alle Terme auf eine Seite.
3. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Formel ein:
, und
Setze , und ein.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Du hast die Lösung erhalten.
Dann folgt:
und
Die Lösung liegt nicht im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, d.h. diese Lösung entfällt. liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung
4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Fasse zusammen
Ziehe die Wurzeln
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
Graphische Lösung als Ergänzung
Es ist und .
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunkts der beiden Graphen liefert die Lösung der Gleichung
, also .
Lösung anzeigen
Folgende Schritte sind erforderlich:
- Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
- Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
- Anhält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
- Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
- Erhaltene Gleichung lösen
- Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
- Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereiche für die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Die erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -8
Die zweite Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -3
Die dritte Wurzel:
Hier muss sei n.
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die drei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
Fasse zusammen.
Umformung: -x+2\cdot\sqrt{(x+8)\cdot(x+3)}
Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Klammern ausrechnen und Binomische Formel anwenden.
Zusammenfassen und Klammer auflösen.
Umformung: -x^2-22x-121
Alle Terme auf eine Seite bringen.
3. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Formel ein:
, und
Setze , und ein.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Du hast die Lösung erhalten. Dann folgt:
und
Die Lösung liegt nicht im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, d.h. diese Lösung entfällt.
liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.
4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzeln.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
Zusätzliche graphische Lösung
Es ist und
.
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunkts der beiden Graphen liefert die Lösung der Gleichung
, also .
