Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
Lösung anzeigen
Folgende Schritte sind erforderlich:
- Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
- Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
- Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
- Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
- Erhaltene Gleichung lösen
- Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
- Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: +\sqrt{3x}
Löse nach auf.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: :3
Kürze.
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Für überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: -3^2+\sqrt{3x}
Bringe die Wurzel auf eine Seite.
Vereinfache.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: :3
Löse nach auf.
Kürze den Bruch.
liegt im Definitionsbereich für die Wurzel.
4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
Graphische Lösung als Ergänzung
Es ist und
.
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunkts der beiden Graphen liefert die Lösung der Gleichung ,
also .
Lösung anzeigen
Folgende Schritte sind erforderlich:
- Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
- Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
- Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
- Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
- Erhaltene Gleichung lösen
- Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
- Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: -4
Löse nach auf.
Umformung: :3
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Setze zunächst den Radikanden gleich null.
Umformung: -x-1
Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Wende eine binomische Formel an.
Umformung: -3x-4
Bringe alle Terme auf eine Seite.
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.
Lies die Werte für und ab:
und
Setze die Werte in die p-q-Formel ein:
Setze und ein.
Vereinfache.
Ziehe teilweise die Wurzel.
Schreibe als einen Bruch.
Du hast die Lösung erhalten. Damit folgt dann:
und
Mache mit den beiden berechneten Werten die Probe.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Die Gleichung kann nur mit dem Taschenrechner verifiziert werden! Sie ist wahr.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Der Term auf der linken Seite kann nur mit dem Taschenrechner berechnet werden.
Man erhält als Ergebnis:
Damit ist der Wert des Terms ungleich null. Du hast eine falsche Aussage erhalten.
ist keine Lösung der Wurzelgleichung
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln. Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist dann:
Alle Umformungen erfolgen unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: -x-1
Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
Umformung: ()^2
Wende eine binomische Formel an.
Umformung: -3x-4
Bringe alle Terme auf eine Seite.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für und ab:
und
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
Setze und ein.
Vereinfache.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Du hast die Lösung erhalten. Damit folgt dann:
und
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Vereinfache.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Vereinfache.
Vereinfache.
Du hast eine falsche Aussage erhalten, da ist.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Graphische Lösung als Ergänzung
Es ist und .
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunkts der beiden Graphen liefert die Lösung der Gleichung , also .
