Die sechs Seiten eines Laplace-Würfels sind mit den Ziffern 1,2,3,4,5 und 6 beschriftet. Dieser Würfel wird zweimal hintereinander geworfen.
Betrachtet wird folgendes Ereignis E.
E: "Die Summe der beiden gewürfelten Augenzahlen ist höchstens drei."
Geben Sie E in aufzählender Mengenschreibweise an und ermitteln Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis. (3 BE)
Lösung anzeigen
Ereignis in aufzählender Mengenschreibweise
Elemente der Ergebnismenge sind Tupel der Form , wobei die jeweilige Augenzahl beim ersten Wurf bzw zweiten Wurf ist.
Die aufzählende Mengenschreibweise von E: "Augensumme höchstens drei" lautet also:
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
Da es sich um einen Laplace-Würfel handelt, sind alle Ergebnisse, also alle Augenzahlen, gleich wahrscheinlich. Somit ist also auch jedes Tupel bei zweimaligem Werfen gleich wahrscheinlich und das zweimalige Werfen ist ebenfalls ein Laplace-Experiment, bei dem jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist.
Bei einem Laplace-Experiment kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden durch:
Dabei beschreiben die senkrechten Striche die Mächtigkeit einer Menge, also die Anzahl ihrer Elemente.
Es ist , denn es sind drei Tupel in der Menge enthalten.
Für muss man sich überlegen, wie viele mögliche Kombinationen es beim zweimaligen Würfeln gibt. Beim ersten Wurf gibt es 6 mögliche Ausgänge. Für jedes dieser Ergebnisse gibt es beim 2. Wurf 6 mögliche Elemente. Insgesamt also:
und somit