Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion .
Gib den maximalen Definitionsbereich der Funktion an.
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Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.
Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -2
Damit hat die Funktion den maximalen Definitionsbereich:
Berechne die Nullstellen.
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Für die Berechnung der Nullstellen setzt du .
Setze .
Ein Produkt ist dann gleich null, wenn ein Faktor null ist (Satz vom Nullprodukt)
Setze nun den zweiten Faktor gleich null.
Umformung: ()^2
Löse nach auf.
Umformung: -2
Die Nullstellen der Funktion sind und .
Skaliere in der Abbildung die Koordinatenachsen.
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Die in Aufgabe ) berechneten Nullstellen sind und .
Der linke Schnittpunkt mit der -Achse liegt bei und der rechte Schnittpunkt mit der -Achse liegt bei .
In der Abbildung ist der -Achsenbereich im Intervall in Abschnitte unterteilt. Ein Abschnitt entspricht demnach . Damit kann die -Achse skaliert werden.
Für die Skalierung der -Achse berechnest du z.B. den Funktionswert an der Stelle .
Setze ein.
Der Punkt liegt auf dem Graphen von und ermöglicht die Skalierung der -Achse. Die y-Koordinate von liegt etwas oberhalb von .
In der Abbildung ist der -Achsenbereich im Intervall in Abschnitte unterteilt. Ein Abschnitt entspricht demnach . Damit kann die -Achse skaliert werden.
Bestimme die Koordinaten des Hochpunktes von g.
Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
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Berechne die Nullstelle der ersten Ableitung von .
Die Funktion ist das Produkt von zwei Funktionen. Benutze die Produktregel.
Dabei ist und
Berechne die Ableitungen:
und
Setze in die Formel für die Produktregel ein.
Vereinfache.
Setze .
Umformung: +\dfrac{x}{4\cdot \sqrt{x+2}}
Löse nach auf.
Umformung: \cdot(4\cdot \sqrt{x+2})
Kürze und fasse die Wurzeln zusammen.
Löse die Klammer auf.
Umformung: +2x
Umformung: :3
An der Stelle hat die Funktion einen Hochpunkt.
Berechne die -Koordinate des Hochpunktes.
Berechne :
Setze ein.
Vereinfache
Die Koordinaten des Hochpunktes von lauten: