Das stilisierte Fischlogo des Marineclubs soll neu lackiert werden. Dazu braucht der Maler die Fläche des Logos.
Die orangefarbene Randfunktion ist gegeben durch .
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Zur Flächenberechnung benötigst du eine Stammfunktion der Funktion :
Das Integral kann mit partieller Integration berechnet werden. (Der Vorfaktor wird zunächst nicht berücksichtigt.)
Die partielle Integration berechnet mit folgender Formel das Integral über ein Produkt von zwei Funktionen:
Es soll das Integral berechnet werden.
Setze dazu und
Berechne nun durch Integration von
Schreibe die Wurzel als Potenz.
Integriere über .
Wende die Regel für Potenzfunktionen an.
Vereinfache.
Somit ist und .
Nun kann die partielle Integration durchgeführt werden.
Setze und und ein.
Berechne nun das hintere Integral durch Anwendung der Regel für Potenzfunktionen:
Vereinfache.
Vereinfache.
Damit folgt für die Berechnung von :
Vereinfache die rechte Seite durch Ausklammern von .
Vereinfache die hintere Klammer.
Klammere aus.
Eine Stammfunktion lautet somit:
Berechne nun die Fläche :
Die Integrationsgrenzen werden der Abbildung entnommen. Die untere Grenze ist und die obere Grenze ist .
Setze die Grenzen ein.
Vereinfache.
Vereinfache.
Wegen entfällt die hintere Klammer.
Die Fläche ist dann .
Berechne nun die Fläche :
Die Integrationsgrenzen werden der Abbildung entnommen. Die untere Grenze ist und die obere Grenze ist . Hier verläuft unterhalb der x-Achse. Deshalb wird der Betrag des Integrals berechnet:
Setze die Grenzen ein.
Vereinfache.
Vereinfache.
und .
Kürze und vereinfache.
Die Fläche kann nun angegeben werden:
Die Fläche ist dann .
Der Maler muss eine Fläche von etwa lackieren.