Die binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern und besitzt die Standardabweichung. In Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von dargestellt.
Ermitteln Sie den Wert des Parameters . (4 P)
Lösung anzeigen
Gegeben ist und.
Setze ein.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel.
Umformung: :8
Vereinfache.
Löse die Klammer auf.
Umformung: +p^2-p
Bringe alle Terme auf eine Seite.
Man hat eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kann mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel gelöst werden.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Die Werte für und werden abgelesen: und
Setze und ein.
Vereinfache.
Bringe die Brüche auf den Hauptnenner .
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Man hat die zwei Lösungen und erhalten.
Welche der beiden Wahrscheinlichkeiten gehört zur Abbildung ?
In der Abbildung ist zu erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten und gleich groß sind.
Man berechnet die beiden Wahrscheinlichkeiten einmal für und dann eventuell noch für .
und .
Die beiden Wahrscheinlichkeiten sind gleich groß, daher ist der Wert des Parameters .
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und .
Die beiden Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich groß, deshalb kann nicht sein.
Die binomialverteilte Zufallsgröße hat die Parameter und . Kennzeichnen Sie in Abbildung eine Fläche, die die Wahrscheinlichkeit darstellt. (2 P)
Lösung anzeigen
Da ist, folgt
Die Verteilung von ist die Verteilung von gespiegelt an der Geraden . Dann gilt , ebenso und so weiter.
Dieser Summe aus drei Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung entspricht dann die Summe aus den drei folgenden Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung . Diese Summe ist gleich .
Somit ist dann.
Die ersten drei Balken in der Abbildung müssen gekennzeichnet werden.
Der Wahrscheinlichkeit entspricht die grün gefärbte Fläche.
