Für jedes ist die Funktionenschar gegeben durch .
Der Graph der Funktion ist .
Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter an.
Wo schneiden die Scharkurven die -Achse?
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Die -Achse wird für geschnitten.
Setze in die Funktionsgleichung ein:
Antwort: Der Schnittpunkt der Scharkurven mit der -Achse hat die Koordinaten .
Untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte.
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Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet:
Berechne die 1. Ableitung, beachte dabei die Produktregel und die Kettenregel:
Setze
Nur die Klammer kann null werden:
Die Feststellung, ob sich an der Stelle ein Extremum befindet, kann mit einer Monotonietabelle oder der 2. Ableitung erfolgen. Hier erfolgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung:
Ist , dann hat die Scharkurve an der Stelle einen Tiefpunkt.
Ist , dann hat die Scharkurve an der Stelle einen Hochpunkt.
Berechne die 2. Ableitung, beachte dabei wieder die Produktregel und die Kettenregel:
Setze in ein:
Das Ergebnis ist vom Scharparameter abhängig, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von erforderlich.
Fallunterscheidung
Fall 1:
Fall 2:
Setze in ein, um die -Koordinate der Extrema zu berechnen.
Antwort: Für hat der Tiefpunkt die Koordinaten und für hat der Hochpunkt die Koordinaten .
Bestimme das Verhalten der Funktion für und für und gib gegebenenfalls die Asymptote an.
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Betrachte zunächst . Wie verhält sich der Ausdruck , wenn sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von erforderlich.
Fallunterscheidung
Fall 1:
Für wächst für stärker als jede Potenz von . Der Ausdruck geht somit gegen .
Für geht für stärker gegen als . Der Ausdruck geht somit gegen .
Fall 2:
Für geht für stärker gegen als . Der Ausdruck geht somit gegen .
Für wächst für stärker als jede Potenz von . Der Ausdruck geht somit gegen .
Alle Scharkurven haben eine waagrechte Asymptote .
Skizziere für und die Graphen von und von .
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Für lautet und für ist . Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse , der Extrempunkt und die waagrechte Asymptote . Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.
Tabelle für :
x | besonderer Punkt | |
|---|---|---|
-0,5 | -3,24 | |
0 | -1 | |
0,33 | -0,88 | HP |
1 | -0,95 | |
3 | -1 |
Die Funktion hat die waagrechte Asymptote .
Tabelle für :
x | besonderer Punkt | |
|---|---|---|
-3 | 2,85 | |
-2 | 2,73 | |
-1 | 2,63 | TP |
0 | 3 | |
0,5 | 3,82 | |
1 | 5,72 |
Die Funktion hat die waagrechte Asymptote .
Die Graphen von und von .
Welche Scharkurve hat für ein Extremum?
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Ein Extremum liegt vor, wenn ist.
Im Aufgabenteil b) wurde berechnet:
Setze den Wert in die Ableitung ein:
Setze
Nur die Klammer kann null werden:
Antwort: Für hat die Scharfunktion an der Stelle ein Extremum.
Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?
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Für die Ortskurve der Extrema benötigst du die Extrempunktkoordinaten.
Das Extremum hat die Koordinaten .
Für die Berechnung der Ortskurve setzt du und .
Löse dann nach auf .
Setze in ein:
Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet . Der Graph der Ortskurve ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung .
Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Extrema dargestellt.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.