Aufgabe A2
Gegeben sind die Parabel mit der Gleichung und die Gerade mit der Gleichung . Es gilt: x .
Die Punkte und sind die Schnittpunkte der Parabel und der Gerade .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte und . (3 P)
Lösung anzeigen
- Setze die Funktionsterme gleich .
- Bestimme die Lösungen .
- Berechne die Funktionswerte für , um die Koordinaten von und angeben zu können.
Funktionsterme gleichsetzen
Fasse zusammen.
Quadratische Gleichung lösen
Mit der abc-Formel ist die Lösung der Gleichung für
Funktionswerte berechnen und Koordinaten angeben
Punkte auf und Punkte auf haben dieselbe Abszisse . Für die Strecken gilt: . Die Mittelpunkte der Strecken sind zugleich Mittelpunkte von Kreisen mit den Durchmessern
Zeichnen Sie die Strecke sowie den Mittelpunkt und den Kreis mit dem Durchmesser für in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein. (2 P)
Lösung anzeigen
Zeichne die Strecke sowie den Punkt und den Kreis in das Koordinatensystem ein.
Einzeichnen der Punkte und Strecken
Die Punkte liegen auf der Gerade , die Punkte auf der Parabel.
Beide liegen übereinander, mit verschiedenen Funktionswerten:
Der Mittelpunkt ergibt sich aus dem Mittel der Funktionswerte:
Mit dem Zirkel kann der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem passenden Radius konstruiert werden.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: (1 P)
Lösung anzeigen
Berechne die Differenz aus den y-Werten der beiden Punkte.
Länge der Strecke
Unter den Kreisen gibt es einen Kreis mit maximalem Umfang .
Berechnen Sie . (2 P)
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Bestimme, für welchen Wert von die Länge der Strecke maximal ist.
Bestimme dazu den Scheitel der Parabel
(aus Teilaufgabe (c)).
ist der Durchmesser der Kreise. Wenn dieser Wert maximal ist, dann auch die Fläche der Kreise.
Maximum der Strecke
Unter den Kreisen gibt es einen Kreis mit maximalem Umfang . Berechne .
Da es sich hier um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, liegt der maximale Funktionswert im Scheitel der Parabel. Mit der Scheitelpunktform kannst Du den Scheitelpunkt berechnen.
Scheitel der Parabel bestimmen
Wandle die Funktion in die Scheitelpunktform um.
Ein Kreis hat den 4-fachen Durchmesser eines Kreises . Hat dann den 16-fachen Flächeninhalt von ?
Begründen Sie Ihre Antwort. (2 P)
Lösung anzeigen
- Begründe die Behauptung mit der Formel für die Kreisfläche .
- Untersuche, was passiert, wenn der Radius vervierfacht wird (und anschließend quadriert wird).
Begründung
Ein Kreis hat den -fachen Durchmesser eines Kreises. Hat dann den -fachen Flächeninhalt von ? Begründe Deine Antwort.
hat den 16-fachen Flächeninhalt von , denn es gilt:
Aus folgt: .
Somit gilt: .
Ja, hat dann den 16-fachen Flächeninhalt von .