Gegeben ist die Funktion .
Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion.
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ist ein Polynom. Zur Bestimmung der Ableitungen muss jeder Summand einzeln abgeleitet werden.
Leite nochmals ab, um zu berechnen.
Berechne die Wendepunkte.
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hat einen Wendepunkt an der Stelle , wenn die zweite Ableitung bei den Wert hat () und die dritte Ableitung an der Stelle ungleich ist ().
Finde die Nullstellen von :
Setze f''(x) gleich
Setze ein.
Umformung: :3
hat also möglicherweise eine Wendestelle bei
Bestimme die dritte Ableitung und setze ein.
Leite ab
Somit hat eine Wendestelle bei
Setze in ein, um die y-Koordinate des Wendepunkts zu berechnen:
Antwort: hat den Wendepunkt
Ergänzung: Graphen der Funktion
Bestimme das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion.
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Um das Krümmungsverhalten zu bestimmen, teilst du den Definitionsbereich der Funktion in Intervalle mit dem gleichen Krümmungsverhalten. An den Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten, sodass die Wendestellen und Ränder des Definitionsbereichs die Intervalle definieren.
hat eine Wendestelle bei . Der Definitionsbereich von ist ganz . Somit hat das gleiche Krümmungsverhalten im Intervall
Krümmungsverhalten in
Da im Intervall das gleiche Krümmungsverhalten hat, setze einen Punkt aus dem Intervall in ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses zeigt dir die Krümmung im Intervall.
Setze z.B. ein:
für
Antwort: ist in rechtsgekrümmt.
Krümmungsverhalten in
Da im Intervall das gleiche Krümmungsverhalten hat, setze einen Punkt aus dem Intervall in ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses zeigt dir die Krümmung im Intervall.
Setze z.B. ein:
für
Antwort: ist in linksgekrümmt.
Ergänzung: Graphen der Funktion
