Es wird die Lage einer Ebene bezüglich einer Kugel untersucht.
Dabei treten drei Fälle auf:
- die Ebene schneidet die Kugel nicht (oberes Bild)
- die Ebene berührt die Kugel in genau einem Punkt, die Ebene ist eine Tangentialebene (mittleres Bild)
- die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis (unteres Bild)
Allgemeines Vorgehen
Die Kugel ist gegeben durch ihren Mittelpunkt und den Radius . Die Ebene liegt in der Koordinatenform vor.
Die Ermittlung der Lage von Ebene zu Kugel erfolgt über die Berechnung des Abstandes des Kugelmittelpunktes von der Ebene . Stelle dazu die Hessesche Normalenform der Ebene auf.
Setze die Koordinaten des Kugelmittelpunktes ein:
Nun sind drei Fälle möglich:
- ; die Ebene schneidet die Kugel nicht
- ; die Ebene ist eine Tangentialebene
- ; die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis
Wenn du bei deiner Rechnung festgestellt hast, dass ist, dann gibt es nichts weiter zu rechnen. Die Ebene schneidet die Kugel nicht.
Ist dagegen , so kannst du noch den Berührpunkt zwischen der Ebene und der Kugel berechnen. (Beispiel )
Ist dagegen , so kannst du die Koordinaten des Schnittkreismittelpunktes und den Schnittkreisradius berechnen. (Beispiel )
Beispiel 1
Zeige, dass die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius ist. Berechne auch den Berührpunkt .
Lösung:
Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene auf.
Berechne die Wurzel.
Berechne den Abstand des Mittelpunktes von der Ebene , indem du die Koordinaten von in die Hessesche Normalenform einsetzt.
vereinfache
Berechne den Betrag
Der Abstand des Mittelpunktes von der Ebene ist . Der Kugelradius ist . Da ist, handelt es sich um eine Tangentialebene.
Berechnung des Berührpunktes
Stelle die Gleichung der Lotgeraden durch den Mittelpunkt auf die Ebene auf.
Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene .
oder
Berechne den Berührpunkt, indem du die Lotgerade mit der Ebene schneidest.
Setze , , in ein.
Löse die Klammern auf.
Vereinfache die linke Seite.
Umformung: +1
Löse nach auf.
Umformung: :9
Zur Berechnung des Berührpunktes setzt du in die Gleichung der Lotgeraden ein.
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten .
Graphische Darstellung
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Beispiel 2
Zeige, dass die Ebene die Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius schneidet. Berechne auch den Schnittkreismittelpunkt und den Schnittkreisradius .
Lösung:
Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene auf.
Berechne die Wurzel.
Berechne den Abstand des Mittelpunktes von der Ebene , indem du die Koordinaten von in die Hessesche Normalenform einsetzt.
vereinfache
Berechne den Betrag
Der Abstand des Mittelpunktes von der Ebene ist . Der Kugelradius ist . Da ist, wird die Kugel in einem Kreis geschnitten.
Berechnung des Schnittkreismittelpunktes
Den Mittelpunkt des Schnittkreises berechnest du, indem du die Lotgerade von auf die Ebene mit der Ebene schneidest.
Berechne die Gleichung der Lotgeraden durch den Mittelpunkt auf die Ebene . Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene .
Schneide die Lotgerade mit der Ebene:
Setze in ein.
Löse die Klammern auf.
Vereinfache die linke Seite.
Umformung: -5
Löse nach t auf.
Umformung: :9
Kürze den Bruch.
Zur Berechnung des Schnittpunktes setzt du in die Gleichung der Lotgeraden ein.
Antwort: Der Mittelpunkt des Schnittkreises hat die Koordinaten:
.
Berechnung des Schnittkreisradius
Den Schnittkreisradius kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen (siehe obige Abbildung). Der Abstand der Ebene vom Mittelpunkt ist (wurde am Anfang berechnet) und der Kugelradius ist .
Nach auflösen.
Setze und ein.
vereinfache
Antwort: Der Radius des Schnittkreises beträgt .
Graphische Darstellung
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
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