Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung mit .
Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion an und zeichnen Sie den Graphen der Funktion für in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit ; .
(4 Punkte)
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Bei dieser Teilaufgabe geht es darum die Wertemenge und Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion zu bestimmen. Anschließend soll man diese Funktion auch zeichnen.
Definitionsmenge und Wertemenge
Die Funktion ist nur definiert, wenn das Argument des Logarithmus positiv ist. Du kannst also schnell erkennen, dass du nur Zahlen größer als einsetzen darfst.
Die Wertemenge ergibt sich ebenfalls durch die Eigenschaften des Logarithmus und entspricht ganz .
Einzeichnen in ein Koordinatensystem
Zeichne anschließend die Funktion anhand einer Wertetabelle aus deinem Taschenrechner in ein Koordinatensystem ein.
Der Graph der Funktion wird durch Achsenspiegelung an der -Achse und anschließender Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Graphen der Funktion mit der Gleichung abgebildet. Geben Sie die Koordinaten des Verschiebungsvektors an und zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in das Koordinatensystem zu ein.
(3 Punkte)
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In dieser Teilaufgabe sollst du den Verschiebungsvektor bestimmen und die Funktion in das Koordinatensystem aus B 1.1 einzeichnen.
Bestimmung des Verschiebungsvektors
Die Achsenspiegelung des Graphen führt dazu, dass sich das Vorzeichen der Funktion umkehrt.
Die Verschiebung bewirkt eine Änderung des Arguments im Logarithmus. Aus wird hier . Du kannst dir vorstellen, dass die ganze Funktion um in -Richtung nach links geschoben wird, da nicht mehr gerechnet wird.
Der Vektor, der "Verschiebung um in -Richtung" repräsentiert ist dann:
Einzeichnen der Funktion
Die Funktion zeichnest du wieder mithilfe einer Wertetabelle in das Koordinatensystem ein.
Punkte auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse wie Punkte auf dem Graphen zu . Sie sind für zusammen mit den Punkten und die Eckpunkte von Rauten .
Es gilt: .
Zeichnen Sie die Rauten für und für in das Koordinatensystem zu ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: .
(4 Punkte)
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In dieser Teilaufgabe sollst du die Rauten und einzeichnen und die Länge der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse bestimmen.
Zeichnen der Rauten und
Die Diagonalen in Rauten halbieren sich jeweils. Du kannst nun also bei der Hälfte der Strecke ansetzen und exakt nach links und rechts zeichnen.
Damit kommst du zu den Punkten und .
Verbinde nun die Punkte miteinander um die Raute zu erhalten.
Wiederhole diese Schritte für die Raute . Dabei nutzt du für und den -Wert .
Berechnung der Länge der Strecken
Da die Abszissen der Punkte und gleich groß sind, ist die Strecke so lang, wie die Differenz ihrer -Werte.
Klammere aus.
Forme den Term in der Klammer nach den Regeln zum Rechnen mit dem Logarithmus um. Aus der Summe wird so ein Produkt im Logarithmus.
Vereinfache das Argument des Logarithmus.
Die Strecke hat die, von abhängige, Länge .
Die Raute ist ein Quadrat. Berechnen Sie die zugehörige -Koordinate des Punktes . Runden Sie dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.
(2 Punkte)
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Bei dieser Teilaufgabe geht es darum, die x-Koordinate von zu bestimmen.
Die Raute ist ein Quadrat. Bei einem Quadrat sind nicht nur alle Seitenlängen gleich lang, sondern auch die beiden Diagonalen.
In dieser Aufgabe kennst du bereits die Länge der einen Diagonalen . Für die andere Diagonale hast du in der Aufgabe bereits eine Formel aufgestellt.
Setze die beiden Diagonalen gleich und berechne damit den -Wert von .
Umformung: :\left(-1,5\right)
Löse den Logarithmus auf.
Stelle diese Gleichung um und nutze die Mitternachtsformel um sie zu lösen!
Die Definitionsmenge unserer Funktionen ist nur im Positiven, daher ist keine gültige Lösung.
Der -Wert von ist .
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte der Rauten in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt:
.
(2 Punkte)
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Bei dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten von bestimmen.
Die Punkte liegen genau in der Mitte der Punkte und .
Aus diesem Grund muss für jeweils die - und die -Koordinate die Mitte gefunden werden.
Bei der -Koordinate ist dies einfach, da und dieselbe Abszisse besitzen. Die -Koordinate von ist also .
Bei der -Koordinate musst du jetzt die Mitte herausfinden. Stelle dazu die Formel auf.
Setze die -Werte von und ein.
Klammere aus.
Vereinfache den Zähler nach den Rechenregeln für den Logarithmus!
Du erhältst für :
Geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte der Rauten in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte an.
(2 Punkte)
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Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung des Trägergraphen der Punkte der Rauten in Abhängigkeit von der Abszisse angeben.
Für den Trägergraphen von benötigst du die Koordinaten von , ausgedrückt durch den -Wert von und .
Du weißt, dass immer links von liegt. Damit kommst du auf die -Koordinate:
Für die -Koordinate kannst du die Höhe des Punktes nutzen. Dessen -Koordinate ist dieselbe wie von .
Um den Trägergraphen zu bestimmen musst du nun die Gleichung für nach auflösen und in die Gleichung von einsetzen.
Auflösen nach :
Einsetzen in :
Du erhältst damit den Trägergraphen für :
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen,
Eingebetteter Serlo-Inhalt