Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei in der Wirklichkeit entsprechen.
Berechnen Sie den Inhalt des von und der Winkelhalbierenden eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells. (5BE)
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Bestimmung des Flächeninhalts
Bestimme den Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen dem Graph und der Winkelhalbierenden . Hierzu brauchst du die Integralrechnung.
Du berechnest das Integral von von bist und ziehst das Integral von im gleichen Bereich ab. Da das Integral, aber eine Flächenbilanz angibt musst du beide Funktionen um nach oben verschieben. Dein Flächenstück befindet sich somit gänzlich über der -Achse. Rechnerisch musst du nur zu jeder Funktion addieren.
Du musst die orange Fläche berechnen.
Um weiter zu rechnen benutzt du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Forme zuerst um.
Jetzt kannst eine Stammfunktion finden und den HDI anwenden.
Das Flächenstück zwischen den Graphen und ist .
Flächeninhalt des Blattes
Du hast in Aufgabe 2b) ein Modell eines Blattes erstellt. Darin kannst du deutlich sehen, dass das Blatt den doppelten Flächeninhalt hat bezogen auf A. ist hierbei der Flächeninhalt des Blattes.
Der Flächeninhalt des Blattes beträgt .
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an im Punkt . Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen. (6BE)
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Tangente von
Bestimme die Gleichung der Tangente an im Punkt .
Berechne zuerst den Wert deiner -Koordinate.
Deine Tangente soll also im Punkt sein.
Bestimme die Ableitung von .
Deine Tangente besitzt die allgemeine Form einer Geraden.
Damit du die Steigung berechnen kannst, musst du den -Wert deines Punktes in einsetzen.
Berechne , indem du deinen Punkt in die Tangentengleichung einsetzt und nach auflöst.
Stelle nun die Gleichung der Tangente auf.
Bestimmung des Winkels, den die Blattspitze einschließt
Bestimme den Winkel zwischen den Funktionen und .
Du kannst erkennen, dass der Winkel, der von der Blattspitze eingeschlossen wird, die doppelte Größe von hat.
Berechne den Winkel zwischen der Tangente und der Waagrechten . Dazu musst du Tangens von gleich der Steigung von , also gleich setzen.
Der Winkel zwischen der Tangente und der Waagrechten beträgt .
Du weißt schon, dass die Winkelhalbierende eines Quadranten des Koordinatensystems in einem -Winkel auf jeder Waagrechten steht also auch auf .
Wie du in der Zeichung sehen kannst, ist der Winkel die Differenz zwischen dem Winkel und dem Winkel zwischen und .
Der Winkel hat .
Der Winkel, den die Blattspitzen einschließen, ist:
.
Der Winkel, der von der Blattspitze eingeschlossen wird, beträgt .
Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch das bisher verwendete Modell nicht genau genug darstellt. Daher soll der obere Blattrand im Modell für nicht mehr durch , sondern durch den Graphen einer in definierten ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden. Für die Funktion k werden die folgenden Bedingungen gewählt ( und sind die Ableitungsfunktionen von bzw. ):
Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahl der Bedingungen I,II und III sinnvoll ist. Machen Sie plausibel, dass die Bedingung IV dazu führt, dass die Form des Blatts in der Nähe der Blattspitze im Vergleich zum ursprünglichen Modell genauer dargestellt wird. (3BE)
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Bedingungen I,II und III
Mit Bedingung I und II stellst du sicher, dass die Funktionen und nahtlos ineinander übergehen. Genauer sagt dir die Bedingung I, dass und für gleich den gleichen Funktionswert haben, und die Bedingung II, dass sie an diesem Punkt auch die gleiche Steigung haben.
Die III. Bedingung sagt dir, dass die beiden Funktionen wieder am gleichen Punkt zusammenlaufen. Also am Punkt das Ende der Blattspitze bleibt.
Bedingung IV
In der IV. Bedingung musst du erkennen, dass hier die Funktion von der ursprünglichen Funktion abweicht. Führ dir den Unterschied vor Augen, indem du die Werte berechnest.
Du siehst der ursprüngliche Rand verläuft steiler, da er eine größere Steigung hat. Die Bedingung IV verursacht eine Abflachung an der Blattspitze, das ist die Kurve nach innen, die du auf dem Bild erkennen kannst.