Abbildung 1 zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem Zifferblatt anzeigt. Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (vgl. Abbildung 2). Dabei beschreibt das Rechteck mit und die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt des Rechtecks ABCD dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die -Ebene beschrieben.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts . Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene , in der das Rechteck liegt, in Normalenform. (5 BE)
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Um diese Aufgabe erfolgreich lösen zu können, muss Dir der Zusammenhang von Koordinaten eines Punktes und zugehörigem Ortsvektor klar sein, außerdem brauchst Du die Vektoraddition.
Laut Angabe sind , und gegeben, wobei der Diagonalenschnittpunkt des Rechtecks ist. Zum Punkt gelangt man also, wenn man zu noch addiert. Hierzu muss man sich in Erinnerung rufen, dass sich die Diagonalen im Parallelogramm gegenseitig halbieren, d. h. . Und selbst wird als Differenzvektor berechnet.
Der Summenvektor zeigt dann gerade auf Punkt :
hat also die Koordinaten .
Für die Normalenform der Ebene benötigst Du den Normalenvektor und einen Punkt, der in der Ebene liegt, z. B. Punkt .
Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene, man ermittelt ihn mithilfe zweier linear unabhängiger Vektoren, die in der Ebene liegen, z. B. und , durch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden Vektoren:
Zusammen mit dem Punkt wird daraus die Normalenform:
Die Grundplatte ist gegenüber der Horizontalen um den Winkel geneigt. Damit man mit der Sonnenuhr die Uhrzeit korrekt bestimmen kann, muss für den Breitengrad des Aufstellungsorts der Sonnenuhr gelten. Bestimmen Sie, für welchen Breitengrad die Sonnenuhrgebaut wurde. (4 BE)
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Beim ersten Lesen könnte man meinen, dass man sich mit Sonnenuhren und der Astrophysik auskennen muss, aber tatsächlich muss man einfach nur die Aufgabe lesen können, den Winkel als Schnittwinkel zweier Ebenen bestimmen können, und schließlich mit der gegebenen Beziehung auf schließen können, um somit die geographische Breite zu bestimmen!
Da von der Grundplatte schon der Normalenvektor bekannt ist, bestimmt man den Schnittwinkel am einfachsten, indem man den Winkel zwischen den Normalenvektoren von Grundplatte und der horizontaler Ebenen bestimmt. Diesen Zusammenhang zeigt das nachfolgende Bild, wobei zur Hervorhebung des Zusammenhangs die Ebenen so liegen, dass man in Richtung der Schnittlinie zwischen den Ebenen schaut.
Winkel an Geraden
Hinter der Tatsache, dass in der Figur zweimal der Winkel vorkommt, steckt folgender Satz aus der Elementargeometrie:
Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen, sind gleich groß oder ergänzen sich zu .
Diesen Satz kann man sehr oft verwenden.
Der Normalenvektor der horizontalen Ebene, das ist die --Ebene, ist die -Achse, also . Somit ergibt sich mit dem Ansatz:
Daraus folgt
Und für die geographische Breite ergibt sich:
Die Stadt Leipzig hat beispielsweise diese geographische Breite.
Der Polstab wird im Modell durch die Strecke mit dargestellt. Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht, und berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau. (3 BE)
Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor dargestellt.
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Um diese Teilaufgabe zu lösen, wird zunächst der Polstab als Differenzvektor dargestellt. Der Beweis, dass senkrecht auf der Grundplatte steht ist gleichwertig mit dem Beweis, dass ein Vielfaches des Normalenvektors ist.
Denn der Normalenvektor steht senkrecht auf der Grundplatte, sonst wäre er nicht der Normalenvektor. Ein weiterer Vektor steht also seinerseits senkrecht auf der Grundplatte, wenn er ein Vielfaches des Normalenvektors ist.
Polstab als Differenzvektor
Polstab steht senkrecht auf der Grundplatte
ist also ein Vielfaches vom Normalenvektor und steht somit ebenfalls senkrecht auf der Grundplatte.
Länge des Polstabs
Die Länge des Polstabs ist der Betrag des zugehörigen Vektors:
Aus den Lägeneinheiten werden mit dem gegebenen Maßstab cm, das sind mit der geforderten Genauigkeit cm.
Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigenGrundplatte liegt. (6 BE)
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Zur Berbeitung der Teilaufgabe stellst Du Dir den Sonnenstrahl, der die Spitze des Polstabs trifft, als Gerade durch mit dem Richtungsvektor vor. Als nächstes suchst Du den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene . Schließlich muss man aus den Koordinaten des Punkts herauslesen, dass er nicht mehr innerhalb des Rechtecks liegen kann.
Die Abbildung veranschaulicht die gegenseitige Lage der Objekte.
Aufstellen der Geradengleichung
Die Gerade stellt den Sonnenstrahl dar, der gerade durch die Spitze des Polstabs verläuft und ergibt sich somit durch Kombination der Polstabspitze mit dem Richtungsvektor :
Schnittpunkt von mit
Zur Bestimmung des Schnittpunkt setzt man die 3 Koordinaten der Parameterform der Geradengleichung in die Normalenform der Ebene ein und erhält eine Gleichung für :
Für den Schnittpunkt ergibt sich durch Einsetzen von in :
Nachweis der Behauptung
Am einfachsten und schnellsten geht der Nachweis, wenn man erkennt, dass die -Koordinate von negativ ist. Die Grundplatte steht aber so auf der horizontalen Ebene, dass alle Punkte der Grundplatte positive -Koordinaten haben. Somit kann der Schatten der Spitze des Polstabs nicht auf der Grundplatte liegen!
Um 6 Uhr verläuft der Schatten des Polstabs im Modell durch den Mittelpunkt der Kante , um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante und um 18 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante . Begründen Sie, dass der betrachtete Zeitpunkt vor 12 Uhr liegt. (2 BE)
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Je nach Uhrzeit kommt der Sonnen/Schattenstrahl durch die Spitze des Polstabs aus dem Halbraum mit , das ist in der Früh bis 12.00 Uhr Mittag der Fall oder aus dem Halbraum mit am Nachmittag. Mittags verläuft der Strahl genau in der --Ebene (d. h. ).
Es genügt also die Koordinate des Richtungsvektors zu betrachten. Diese ist positiv. Das heißt wegen der Drehbewegung um die Spitze des Polstabs, dass die Sonne selbst im Halbraum mit stehen muss.
Also ist ein Zeitpunkt, der vor Mittag liegt!
Die Abbildung zeigt den Lauf der Sonne und den Schattenwurf auf der Grundplatte:
Richtiges Aufstellen der Sonnenuhr
Der Polstab zeigt in Richtung des Himmelsnordpols, das ist die gedachte Velängerung des Nordpols der Erde ans Firmament. Der Polstab zeigt also in Richtung Norden und ist parallel zur Erdachse. Damit ist auch klar, dass der Polstab zu jeder geographischen Breite anders gelagert werden muss: Am Norpol senkrecht zum Horizont, am Äquator parallel zum Horizont und in Leipzig eben mit gegen die horizontale Ebene.