Zwei Quadrate liegen so ineinander, dass jede Seite des inneren Quadrats von der entsprechenden Seite des äußeren Quadrats den Abstand hat. Die Seiten der beiden Quadrate begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt , die in der nicht maßstabsgetreuen Abbildung schraffiert dargestellt ist.
Jakob und Lukas sollen die Seitenlänge des inneren Quadrats bestimmen. Sie verwenden dazu unterschiedliche Ansätze:
Ansatz von Jakob:
Ansatz von Lukas:
Erkläre den Ansatz von Jakob in Worten. (1 BE)
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Um herauszufinden, was Jakob gedacht hat, überlegst du dir am besten zuerst, was die einzelnen Teile der Gleichung für eine Bedeutung haben.
Das ist die Größe des Flächeninhalts.
Das ist der Flächeninhalt des kleinen Quadrats, weil du für den Flächeninhalt eines Quadrats immer die Seitenlänge mit sich selbst multiplizieren musst.
Das ist der Flächeninhalt des großen Quadrats, da die Seitenlänge davon ist. Du addierst zu der Länge zweimal die kleinen Seitenstücke und für den Flächeninhalt quadrierst du dein Ergebnis.
Jakob hat gerechnet, wie du jetzt weißt entspricht das:
großes Quadrat - kleines Quadrat = Flächeninhalt der grauen Fläche
Jakob zieht also den Flächeninhalt des kleinen Quadrats von dem des großen Quadrats ab und erhält damit den grauen Flächeninhalt.
Veranschauliche den Ansatz von Lukas durch geeignete Eintragungen in die obige Abbildung. (1 BE)
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Lukas Term ist . Es geht um die Berechnung des Flächeninhalts des grauen Gebildes. Er nimmt hier mal . Also könntest du dir überlegen, ob es eine Möglichkeit gibt, die Fläche in vier gleich große Stücke zu zerteilen.
ist die kurze Seitenlänge eines Seitenstreifens.
ist die Seitenlänge des kleinen Quadrats und die Länge eines kleineren Seitenstreifens zusammen.
entspricht damit dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit diesen beiden Seiten, weil man dafür die Seitenlängen multipliziert.
Und entspricht dann solchen Rechtecken.
Deswegen zeichnest du wie in dem Bild, vier solche Rechtecke in die Abbildung.
Bestimme die Lösung der Gleichung über der Grundmenge . (2 BE)
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In dieser Teilaufgabe löst du nun eine lineare Gleichung:
Multipliziere den Term in der eckigen Klammer aus.
Löse wieder durch Ausmultiplizieren die Klammern auf.
Umformung: -36
Umformung: :12
Lösungsmenge: