Gegeben ist die Ebene .
Der Schnittpunkt von mit der -Achse, der Schnittpunkt von mit der -Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. (2 BE)
Lösung anzeigen
Bestimme zunächst die Schnittpunkte der Ebene mit der -Achse und -Achse:
- Schnittpunkt mit der -Achse:Der Schnittpunkt mit der -Achse, , hat die Koordinaten , wobei . Setze in die Ebenengleichung ein, um zu berechnen: hat die Koordinaten .
- Schnittpunkt mit der -Achse: Der Schnittpunkt mit der -Achse, , hat die Koordinaten , wobei . Wenn du in die Ebenengleichung einsetzt, erhältst du . hat die Koordinaten .
Das sich ergebende Dreieck ist rechtwinklig. Du kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel berechnen, wobei und die Katheten sind. Die beiden Katheten liegen auf der - bzw. der -Achse. Da die Schnittpunkte mit diesen Achsen eine Entfernung von bzw. vom Ursprung haben, sind die Seitenlängen der Katheten und . Der Flächeninhalt ist also
Alternativ kannst du auch die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts benutzen.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene ist. (3 BE)
Lösung anzeigen
Stelle zunächst die Lotgerade l zu durch den Ursprung auf. Aus der Koordinatenform von kannst du den Normalenvektor ablesen, der der Richtungsvektor der Lotgeraden ist. Als Ortsvektor der Lotgeraden kannst du den Ursprung verwenden; dann erhältst zu die folgende Geradengleichung:
Berechne jetzt den Ortsvektor des Schnittpunkts der Lotgeraden mit der Ebene . Setze hierfür in die Koordinatenform von ein:
Setze in ein:
ist Ortsvektor des Punkts , der in liegt, und zugleich Normalenvektor von