Die gleichschenkligen Dreiecke haben die Basen und die gemeinsame Höhe . Die Winkel haben das Maß mit . Es gilt: .
Die Zeichnung zeigt das Dreieck für
Zeichnen Sie das Dreieck für in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. (1 P)
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Zum Einzeichnen des Dreiecks mit gehst du am besten so vor, dass du als Erstes an beiden Seiten von anträgst (rote Winkel in der Zeichnung). Dadurch erhältst du einen Winkel von und erfüllst die Aufgabenstellung.
Damit du die Höhe gleich bleibt sind die Eckpunkte des neuen Dreiecks die Schnittpunkte deiner "Winkelschenkel" (orangene Halbgeraden) mit der Strecke .
Das neue Dreieck ist in der Zeichnung orange hinterlegt.
Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke in Abhängigkeit von gilt: . (2 P)
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Lösungsideen und Hinweise:
- In der Aufgabe steht, dass ist. Das heißt allerdings nicht, dass man das verwenden darf, sondern nur, dass man es als Ergebnis herausbekommen soll, wenn man den Flächeninhalt der Dreiecke bestimmt. Rechne daher so, als sei der Flächeninhalt von Dreieck gesucht und versuche, dabei auf die Formel zu kommen.
- "in Abhängigkeit von " heißt, dass im Ergebnis stehen bleiben darf und kein Wert für eingesetzt werden soll (insbesondere also weder die 80° aus der Angabe zur Aufgabenstellung noch die aus A.1.1).
Formel für Flächeninhalt in Abhängigkeit von aufstellen
Es gibt verschiedenen Arten, um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen. Hier in diesem Fall
- versuchst du es am besten mit der Formel
- und nimmst dabei
- als Grundlinie die Strecke
- und als Höhe die Strecke .
In der Aufgabe ist angegeben. Das ist unabhängig davon, wie groß ist.
kannst du zu zusammenfassen oder du setzt in die Formel ein und vereinfachst:
Term für aufstellen
Zur Bestimmung von betrachte das Dreieck (oranges Dreieck).
ist rechtwinklig. Daher kannst du die Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck verwenden.
Stelle den Tangens auf, weil dieser in der angegebenen Formel verwendet wird.
Die Formel für stellst du nach um, indem du mit multiplizierst.
Für kannst du natürlich wieder einsetzen.
Dadurch erhältst du für einen Term, den du in den Term von oben
einsetzen kannst.
Formel zusammensetzen
Damit hast du - wenn du die Faktoren vertauscht - das gewünschte Ergebnis erhalten und gezeigt, dass gilt:
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist um größer als der Flächeninhalt des Dreiecks . Berechnen Sie das Maß des Winkels des Dreiecks auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. (2 P)
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Lösungsideen
Gegeben:
Der Flächeninhalt von ist um größer als der Flächeninhalt von
Lösungsplan:
- Berechne zuerst den Flächeninhalt von , indem du in die Formel für einsetzt.
- Berechne von der Zahl, die du als Flächeninhalt erhalten hast. Das ist dann der Wert des Flächeninhalts von .
- Setze diesen Wert mit dem Term aus der Formel von gleich und löse dann nach auf.
Lösung
Fläche des Dreiecks berechnen
Für das Dreieck ist nach Aufgabe (a) der Wert von .
Setze in die Formel aus A.1.2 ein.
Rechne das mit dem Taschenrechner aus.
Du darfst das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma runden.
(Für die weitere Rechnung ist es aber besser, wenn du das Ergebnis ungerundet speicherst und damit weiterrechnest; auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet wird dann erst das Endergebnis.)
dazu rechnen
Um zu dazuzurechnen, kannst du entweder
- von ausrechnen und dann zu addieren,
oder
- gleich von berechnen.
von kannst du mit den Formeln zur Prozentrechnung oder mit dem Dreisatz berechnen. In jedem Fall erhältst du:
Anmerkung: Wenn du mit dem gerundeten Ergebnis für gerechnet hast, erhältst du jetzt nach Rundung .
Winkel ausrechnen
Der gesuchte Winkel muss gerade so groß sein, dass sich der gewünschte Flächeninhalt ergibt:
Setze daher die "allgemeine" Formel gleich mit dem Wert, den die Fläche haben soll und löse nach auf.
So sieht die Gleichung aus, wenn du das gerundete Ergebnis verwendest. Teile durch
Wende an. kannst du weglassen, weil es auf beiden Seiten steht.
Multipliziere mit
Wenn du statt des gerundeten Wertes den originalen Wert einsetzt, erhältst du das Ergebnis in diesem Fall das gleiche Ergebnis .