Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.
Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur -Achse und die Gerade mit der Gleichung ist eine senkrechte Asymptote. (2 BE)
Lösung anzeigen
Wenn eine zur zur y-Achse symmetrische Funktion sein soll, muss für den Funktionsterm gelten , d.h. die Variable kommt nur quadratisch vor.
Senkrechte Asymptoten können sich an den Nullstellen des Nenners von gebrochenrationalen Funktionen ergeben.
Eine Lösung der Aufgabe ist zum Beispiel durch den Funktionsterm
gegeben.
Der Graph von ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat für (und dann natürlich auch für ) die geforderte senkrechte Asymptote.
Zusatz
Eine andere - anspruchsvollere - Lösung wäre zum Beispiel der Funktionsterm
Die Funktion ist nicht konstant und es gilt . (2BE)
Lösung anzeigen
Das bestimmte Integral
ergibt eine Flächenbilanz des Graphen von , bei der sich im Integrationsbereich die negativen Flächenteile (unterhalb der x-Achse) mit den positiven (oberhalb der x-Achse) genau aufheben.
Das passiert zum Beispiel, wenn eine punktsymmetrische Funktion mit dem Symmetriezentrum ist.
Ein einfaches Beispiel dafür ist die lineare Funktion mit dem Funktionsterm ist.
Graphische Veranschaulichung
Weitere Beispiele wären
- Lineare Funktionen der Form mit
- Ganzrationale Funktionen höheren und ungeraden Grades der Form mit
- Auch trigonometrische Funktionen kommen in Frage. Beispiel: