Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich .
Geben Sie sowie die Nullstelle von an und bestimmen Sie
(3 BE)
Lösung anzeigen
Definitionsbereich bestimmen
Überlege dir, wo die Funktion definiert ist und wo nicht.
Der Nenner darf nicht Null werden: Nenner wird Null bei
Der ist nur für positive definiert.
Nullstelle von
Oder du überlegst dir statt der letzten zwei Umformungen, wann der Null wird. Genau, bei ! Daraus folgt:
Limes ausrechnen
Was passiert, wenn der natürliche Logarithmus gegen geht? Dieser wird gegen gehen. Was passiert, wenn du in sehr kleine Zahlen einsetzt? Sie werden noch kleiner. Du teilst also etwas ganz großes negatives durch etwas ganz kleines positives (wegen dem Quadrat), es bleibt also ganz groß und negativ.
Ermitteln Sie die -Koordinate des Punkts, in dem der Graph von eine waagrechte Tangente hat. (4 BE)
Lösung anzeigen
Eine waagrechte Tangente bedeutet, dass die Funktion keine Steigung hat, also die Ableitung Null ist. Dazu musst du erst einmal die Ableitung ausrechnen. Verwende die Quotientenregel.
Suche die Nullstelle der Ableitung.
Da du im Teil keinen Taschenrechner hast, lässt du das Ergebnis einfach so stehen.
Somit ist die -Koordinate gefunden.